Фракталы (стр. 4 )

2. 4. Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема. (Принцип сжимающих отображений).

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть – произвольная точка в . Положим

.

Эта последовательность сходится к неподвижной точке отображения .

Заметим, что последовательность представляет собой последовательность приближенных решений уравнения , а доказательство дает эффективный способ оценки точности этих приближенных решений, поскольку переходя в ней к пределу при мы получаем

Следствие. Пусть – такое непрерывное отображение в полном метрическом пространстве , что некоторая его степень является сжатием. Тогда отображение имеет одну и только одну неподвижную точку.

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема Банаха находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

2. 3. Понятие системы итерированных функций

Пусть – конечный набор сжимающих отображений в с коэффициентами сжатия .

Система итерированных функций (iterated function system, IFS) состоит из полного метрического пространства и конечного множества сжимающих отображений с коэффициентами сжатия .

Коэффициент сжатия IFS определяется как .

IFS будем обозначать как .14

Системы итерированных функций впервые были описаны Джоном Хатчинсоном в 1981 году (Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity"). Позже системы итерированных функций были популяризованы Майклом Барнсли (Michael Barnsley, "Fractals Everywhere", Academic Press, Inc., 1988).

2. 3. Свойства систем итерированных функций

Основной задачей теории систем итерированных функций является ответ на вопрос, когда заданная система итерированных функций порождает предельное множество :

где последовательность порождается итерационной схемой ( - произвольное множество):

Отметим, что сходимость подразумевается в метрике Хаусдорфа. Если предел существует, то его называют аттрактором системы итерированных функций. При этом аттрактор часто оказывается фрактальным множеством. Для того, чтобы применить основную теорему о сжимающих отображений необходимо показать, что - полное метрическое пространство, что образ компакта компактен и что — сжимающее отображение. Докажем третье утверждение.

Теорема. Преобразование является сжимающим в метрическом пространстве с коэффициентом сжатия ..

Доказательство.

Заметим, что для любого выполняется

Следовательно, если то . Следовательно . Аналогично, .

Неравенство эквивалентно следующей записи:

.

Пусть . Таким образом, .