Фракталы (стр. 5 )

Следующая теорема суммирует основные результаты о сходимости систем итерированных функций.

Теорема. Пусть - система итерированных сжимающих отображений. Для произвольного компактного начального множества , последовательность сходится в метрике Хаусдорфа к единственному множеству . Множество называется аттрактором системы итерированных функций. Обратно, множество можно представит в виде: .

Таким образом, возникают две задачи. Первая – это нахождение аттрактора заданной системы итерированных функций. Вторая задача обратна первой: для заданного множества , найти для которой является аттрактором.15

Аттрактор не всегда является фракталом, это может быть любое компактное множество. Тем не менее, изучение систем итерированных функций чрезвычайно важно для теории фракталов, с помощью систем итерированных функций можно получить большое количество разнообразных фракталов.

Кроме того, теория итерированных функций является составной частью общей теории динамических систем, важного раздела современной математики.

2. 4. Построение фракталов с помощью систем итерированных функций

2. 4.1. Построение треугольника Серпинского с помощью системы итерированных функций

Рассмотрим построение треугольника Серпинского с помощью системы итерированный функций.

1 способ. Детерминированный алгоритм.

Для построения будем использовать аффинные преобразования (см. рис. 7). Если - замкнутое множество в виде треугольника с вершинами , то образы – три меньшие треугольные области, изображенные на рисунке 7 в центре.

Рисунок 7 Построение треугольника Серпинского с помощью СИФ16

В детерминированном алгоритме рассмотрим следующую последовательность множеств

Ясно, что выполняя подобный алгоритм, мы в точности воспроизводим алгоритм построения треугольника Серпинского. Поэтому после бесконечного числа шагов мы придем в конце концов к множеству точек, образующих этот фрактал.

Важно заметить, что для получения точно такого же предельного результата мы могли бы стартовать с любой фигуры, необязательно имеющей форму равностороннего треугольника. Это, например, мог быть круг или квадрат или любая другая (даже несвязная) фигура, произвольным образом расположенная на плоскости.

На рис. 8 показан результат построения треугольника Серпинского после 5 итераций. В качестве множества взят квадрат.

Рисунок 8 Треугольник Серпинского: детерминированный алгоритм17

2 способ. Рандомизированный алгоритм.

В рандомизированном алгоритме в качестве начального множества выберем одну точку.

На каждом шаге вместо того, чтобы применять сразу три преобразования, мы применяем только одно, выбранное случайным образом.  На каждом шаге мы получаем ровно одну точку. Начиная с некоторого шага, точки начинают заполнять треугольник Серпинского.

Рисунок 9 Треугольник Серпинского: рандомизированный алгоритм. 10000 точек18

2. 4.2. Построение папоротника Барнсли с помощью системы итерированных функций

Папоротник Барнсли - фрактал, названный в честь Майкла Барнсли, британского математика, который первым описал его в своей книге «Фракталы повсюду».

Построение.

Папоротник Барнсли строится при помощи 4-х афинных преобразований вида:

Барнсли представил свой IFS-код в виде матрицы значений:

Таблица 1 Матрица значений для построения папоротника Барнсли

w	a	b	c	d	e	f	p
ѓ1	0	0	0	0.16	0	0	0.01
ѓ2	0.85	0.04	-0.04	0.85	0	1.6	0.85
ѓ3	0.2	-0.26	0.23	0.22	0	1.6	0.07
ѓ4	-0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07

где столбцы a-f - коэффициенты уравнения, а p - коэффициент вероятности, и - координаты.19

Данная таблица отвечает следующим преобразованиям:

Папоротник Барнсли теоретически может быть построен вручную. Т. е. вы берете ручку, лист в бумаги в мелкую клетку и следуете матрице коэффициентов. Однако, количество необходимый итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера, мягко говоря, желательным.

Первая точка находится в начале координат , а затем новые точки итеративно вычисляются путем случайного применения одного из следующих четырех преобразований координат:

Данное преобразование выбирается в 1% случаев и указывает на точку у основания «стебля» (см. рис. 10) Эта часть рисунка в результате итерационных преобразований завершается первой.

Преобразование (2) используется в 85% случаев и указывает на любую точку листа, попадающую в красный треугольник (см. рис. 10)