Фракталы (стр. 6 )

Выбирается в 7% случаев - попадания точки в синий треугольник (см. рис. 10) и симметричного ему относительно главного стебля треугольника.

В оставшихся 7% случаев используется преобразование (4) - для симметричных преобразованию (3) относительно стеблей 2-го порядка позиций.

На рис. 10 представлен пошаговый процесс генерации папоротника Барнсли с помощью рандомизированного алгоритма.

Рисунок 10Папоротник Барнсли: пошаговое генерирование20

Варьируя значения констант в таблице 1 можно получать множество различных моделей, отличных от папоротника Барнсли (см. рис. 11)

Рисунок 11 Телиптерисовый папоротник

2. 4.3. Построение дракона Хартера-Хэйтуэя с помощью системы итерированных функций

Считается, что такое название фрактал получил за сходство с традиционными китайскими драконами. Каждая ломаная-дракон состоит из отрезков. Ломаная с номером n будет состоять из 2n отрезков. Длина каждого равна 1/2n-й части длины исходного отрезка. Если их занумеровать числами 0, 1, 2, ... и идти по ломаной, то после каждого отрезка нужно поворачивать. Направление поворота определяется номером k текущего отрезка:

повернуть направо, если k дает остаток 1 от деления на 4; повернуть налево, если k дает остаток 3 от деления на 4; поступить также, как после отрезка с номером k/2 , если k четно.

Эти правила позволяют запрограммировать процедуру рисования драконов.21

Построим систему итерированных функций для дракона Хартера-Хейтуэя. Для этого расположим первое поколение этого фрактала на сетке координат . Обозначим точки получившейся ломаной . По правилам построения у этого фрактала две части, подобные целому - на рис. 12  это ломаные . 22

Рисунок 12  Заготовка для построения IFS дракона Хартера-Хейтуэя

Зная координаты концов этих отрезков, можно вычислить коэффициенты двух аффинных преобразований, переводящих ломаную :

и

Задавшись начальной стартовой точкой (например ) и итерационно действуя на нее этой IFS, после десятой итерации на экране получим фрактальную структуру, изображенную на рис.13, которая представляет собой дракон Хартера-Хейтуэя. Его кодом (сжатым описанием) является набор коэффициентов двух аффинных преобразований.

Рисунок 13 Дракон Хартера-Хэйтуэя: 10 итераций23

2. 4.4. Построение кривой Коха с помощью системы итерированных функций

Аналогично можно построить систему итерированных функций для кривой Коха. Нетрудно видеть, что эта кривая имеет четыре части, подобные целой кривой (см.  рис 2, глава 1). Для нахождения системы итерированных функций  опять расположим первое поколение этого фрактала на сетке (Рис.14).

Рисунок 14 Заготовка для построения IFS кpивой Коха24

Для ее построения требуется набор аффинных преобразований, состоящий из четырех преобразований:

Результат применения этого аффинного коллажа после десятой итерации можно увидеть на рис.15.

Рисунок 15 Кpивая Коха, постpоенная с помощью IFS25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Системы итерированных функций являются одним из перспективных направлений в современной математике, оставляющих открытыми множество вопросов. Многие проблемы данной теории еще не решены и требуют тщательного исследования.

Следует подчеркнуть, что теория систем итерированных функций нашла множество практических применений в различных областях практической деятельности. Теоретические результаты, полученные в рамках данной теории, используются для сжатия данных, создания фотореалистичных изображений, передачи радиосигналов, предсказания изменений погоды и курсов валют.

В процессе подготовки данной работы были изучены как классические труды по теории фракталов, так и новейшие статьи, диссертации и монографии. Это позволило понять, что теория фракталов и теория систем итерированных функций является живой и бурно развивающейся областью математики. А тот факт, что множество патентов в сфере сжатия изображений  основаны на достижениях этой теории, позволяет сделать вывод о ее несомненной практической значимости.

В рамках данной работы освещен классический подход к построению геометрических фракталов (в первой главе). Рассмотрены классические геометрические фракталы: Канторово множество, снежинка Коха, треугольник Серпинского, кривая Минковского, их изображения и классический способ построения этих фракталов.

Во второй главе рассмотрены понятия функционального анализа, необходимые для изучения систем итерированных функций: метрики и метрического пространства, непрерывных отображений метрических пространств и изометрии, принцип сжимающих отображений, понятие неподвижной точки, теорему Банаха о неподвижной точке. Также рассмотрено понятие систем итерированных функций, их свойства. 

Также в работе рассмотрены примеры построения фракталов с помощью систем итерированных функций:

построение треугольника Серпинского (приведен детерминированный и рандомизированный алгоритм построения); рандомизированный алгоритм построения папоротника Барнсли; построение дракона Хартера-Хэйтуэя; построение кривой Коха.

Таким образом, исследование, произведенное в данной работе, подтверждает важность и актуальность теории систем итерированных функций.

Перспективой данной работы является дальнейшее, более глубокое изучение вопросов теории фракталов, а также разработка практических результатов в рамках данной теории.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Перекрывающиеся системы итерированных функций на отрезке //Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – №. 12. – С. 3-15. Барнсли, М. Перекрывающиеся системы итерированных функций на отрезке / М. Барнсли, // Известия вузов. Математика. - 2012. - № 12. - С. 3-15 Использование рандомизированных систем итерированных функций в прогнозировании //Экономическое прогнозирование: модели и методы: еждународной научно-практической конференции. – 2014. – С. 5-7. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы / , , – Москва.: ЛКИ, 2010 . –280 с.). Введение во фракталы. URL: http://algolist. manual. ru/graphics/fracart. php (дата обращения 11.10.2015) Канторово множество. URL: http://grafika. me/node/224 (дата обращения 10.10.2015). Метрические пространства: учеб. пособие. – Троицк, 2012. Лейпцигская коллекция статей по фрактальному сжатию изображений. URL: http://pression. ru/download/fractal. html (дата обращения 09.10.2015). рактальная геометрия природы. -  М: Институт компьютерных исследований, 2010. аос и самоподобие //Нелинейная динамика. – 2011. – Т. 7. – №. 1. – С. 153-175. Диалоги о фракталах //Тюмень: ТюмГНГУ. – 2011. Папоротник Барнсли.  URL: http://grafika. me/node/184 (дата обращения 11.10.2015) Фракталы, скейлинг и дробные операторы в обработке информации (Московская научная школа фрактальных методов в ИРЭ им. ВА Котельникова РАН, 1981–2011 гг.) //Необратимые процессы в природе и технике: Сб. науч. тр./Под ред. ВС Горелика, АН Морозова. М.: МГТУ им. НЭ Баумана, Физический ин-т им. ПН Лебедева РАН. – 2012. – С. 5-121. Сайт  Бенуа Мандельброта. URL: http://users. math. yale. edu/mandelbrot/ (дата обращения 10.10.2015). Элементы теории фрактальных множеств. – Москва, 2013. , , Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций //Труды Международного симпозиума «Надежность и качество». – 2013. – Т. 1. Синтез фракталов: IFS и L-системы. URL: http://habrahabr. ru/post/134616/ (дата обращения 11.10.2015) Нелинейная динамика: фракталы, хаос, самоорганизация: учеб. пособие. – Новосибирск: НГУ – 2011. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие.- М: МФТИ. – 2011. Фракталы: от удивления к рабочему инструменту : учебное пособие / , , . – Киев : Наукова думка, 2013. – 270 с. еория меры. – Рипол Классик, 2013. екции по функциональному анализу. – Litres, 2015. етоды оптимизации. Компьютерные технологии. – БХВ-Петербург, 2011. , Быстродействующий алгоритм фрактального сжатия изображений// Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т. 318.-  № 5 Функциональный анализ: учеб. пособие. – Красноярск: СФУ. -2010 Элементы. ру/Геометрические фракталы/Дракон. URL: http://elementy. ru/posters/fractals/dragon (дата обращения 11.10.2015) Barnsley M., Andrew V. The Chaos Game on a General Iterated Function System// Ergodic Theory Dynam. Systems/-2011.- № 4. С. 1073–1079 Sierpinski Sieve. URL: http://mathworld. /SierpinskiSieve. html (дата обращения 10.10.2015).

1 аос и самоподобие //Нелинейная динамика. – 2011. – Т. 7. – №. 1. – С. 157

2 рактальная геометрия природы. -  М: Институт компьютерных исследований, 2010.  – С. 18

3 Канторово множество. URL: http://grafika. me/node/224

4 См. рактальная геометрия природы. -  М: Институт компьютерных исследований, 2010.  – С. 112-120

5 Фракталы. Снежинка Коха. URL: http://elementy. ru/posters/fractals/Koch

6  Wolfram Math World/ Koch Snowflake. URL: http://mathworld. /KochSnowflake. html

7  Wolfram Math World/ SierpinskiSieve. URL:  http://mathworld. /SierpinskiSieve. html

8 См. рактальная геометрия природы. -  М: Институт компьютерных исследований, 2010.  – С. 56

9 См. Метрические пространства: учеб. пособие. – Троицк, 2012. –С.5

10 Функциональный анализ: учеб. пособие. – Красноярск: СФУ. -2010 –С.7

11 Там же. – С.8

12 етоды оптимизации. Компьютерные технологии. – БХВ-Петербург, 2011.- С.24

13 Там же.

14 Barnsley M., Andrew V. The Chaos Game on a General Iterated Function System// Ergodic Theory Dynam. Systems/-2011.- № 4. С. 1073

15 См. Нелинейная динамика: фракталы, хаос, самоорганизация: учеб. пособие. – Новосибирск: НГУ – 2011.- С.21-23

16 Синтез фракталов: IFS и L-системы. URL: http://habrahabr. ru/post/134616/

17 ракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М, 2000 – С. 99

18 Синтез фракталов: IFS и L-системы. URL: http://habrahabr. ru/post/134616/

19 Папоротник Барнсли.  URL: http://grafika. me/node/184

20 Папоротник Барнсли.  URL: http://grafika. me/node/184

21 Элементы. ру/Геометрические фракталы/Дракон. URL: http://elementy. ru/posters/fractals/dragon

22 Введение во фракталы. URL: http://algolist. manual. ru/graphics/fracart. php

23 Введение во фракталы. URL: http://algolist. manual. ru/graphics/fracart. php

24 Введение во фракталы. URL: http://algolist. manual. ru/graphics/fracart. php

25 Введение во фракталы. URL: http://algolist. manual. ru/graphics/fracart. php