Фракталы (стр. 3 )

Определение 2. Отображение называется непрерывным в точке , если для всякого существует такое, что для всех , удовлетворяющих , выполняется неравенство

Определение 3. Отображение называется непрерывным на , если оно непрерывно в каждой точке .10

Определение 4. Отображение будем называть инъективным на , если при .

Определение 5. Отображение называется сюрьективным на , если , т. е. для всякого найдется такой элемент , что .11

Определение 6. Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюрьективно.

Если отображение является биективным, то каждому поставим в соответствие , такой, что . Определенное таким образом отображение называется обратным к и обозначается (при этом ).

Определение 7. Отображение называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y называются гомеоморфными, если является биективным и взаимно непрерывным (т. е. отображения и являются непрерывными).

Определение 8. Отображение называется изометрией, а пространства называются изометричными, если является гомеоморфизмом и

Изометрия пространств X и Y означает, что как метрические пространства эти объекты не различимы; различной может быть лишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрических пространств несущественно.

2. 3. Принцип сжимающих отображений. Неподвижная точка

Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений.

Определение 9. Пусть –метрическое пространство и - отображение метрического пространства в себя. Тогда отображение называется сжимающим отображением, если существует такое число

, что для выполняется неравенство

В этом случае отображение также называется сжатием.12

Определение 10. Элемент называется неподвижной точкой отображения , если . Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения .13