Фракталы (стр. 1 )

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

1. ФРАКТАЛЫ        5

1.1. Понятие фрактала        5

1.2. Классические фракталы        6

1.2.1. Канторово множество        6

1.2.2. Снежинка Коха        7

1.2.3. Треугольник Серпинского        8

1.2.4. Кривая Минковского        9

2. СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАНННЫХ ФУНКЦИЙ        10

2. 1. Понятие метрики и метрического пространства        10

2. 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия        12

2. 3. Принцип сжимающих отображений. Неподвижная точка        13

2. 4. Теорема Банаха о неподвижной точке        14

2. 3. Понятие системы итерированных функций        15

2. 3. Свойства систем итерированных функций        16

2. 4. Построение фракталов с помощью систем итерированных функций        18

2. 4.1. Построение треугольника Серпинского с помощью системы итерированных функций        18

2. 4.2. Построение папоротника Барнсли с помощью системы итерированных функций        21

2. 4.3. Построение дракона Хартера-Хэйтуэя с помощью системы итерированных функций        24

2. 4.4. Построение кривой Коха с помощью системы итерированных функций        26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        28

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        29

ВВЕДЕНИЕ

Теория фракталов является одной из самых молодых и бурно развивающихся в математической науке. Эта теория нашла широкое применение в различных сферах практической деятельности. Фракталы используются в обработке цифровой информации, изучении турбулентного движения жидкостей, исследовании финансовых рынков, в радиолокации,  в изготовлении наноматериалов с заданными свойствами и прочие. Исследования в данной области идут до сих пор, и теории фракталов находятся все новые и новые применения.

Одним из новых направлений в теории фракталов является применение систем итерированных функций. Системы итерированных функций, впервые описанные Джоном Хатчинсонов в 1981 году, были популяризованы Джоном Барнсли в 1988 г. Эта теория нашла множество практических применений. В компьютерной графике системы итерированных функций применяются для построения сложных фрактальных объектов, в алгоритмах сжатия изображений, для предсказания землетрясений, погоды и курсов валют.

Целью данной работы является изучение понятия системы итерированных функций, их свойств и возможностей применения систем итерированных функций для генерации фракталов.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1) изучить классический подход к теории фракталов, основные понятия теории фракталов;

2) рассмотреть классические геометрические фракталы: Канторово множество, снежинку Коха, треугольник Серпинского, кривую Минковского и классический способ построения этих фракталов;

3) рассмотреть понятия функционального анализа, необходимые для изучения систем итерированных функций: метрики и метрического пространства, непрерывных отображений метрических пространств и изометрии, принцип сжимающих отображений, понятие неподвижной точки, теорему Банаха о неподвижной точке;

4) понятие и свойства систем итерированных функций;

5) примеры построения фракталов с помощью систем итерированных функций.

Данная работа содержит две главы. В первой главе вводится классическое определение фрактала, рассматриваются классические геометрические фракталы и классический способ их построения.

Во второй главе вводятся основные понятия функционального анализа и теории метрических пространств, необходимые для рассмотрения систем итерированных функций, вводится определение систем итерированных функций, свойства систем итерированных функций. В конце главы рассматриваются примеры построения некоторых фракталов с использованием систем итерированных функций.

1. ФРАКТАЛЫ

1.1. Понятие фрактала

«Фракталы — это геометрические формы, показывающие высокую степень самоподобия (также: масштабной инвариантности), подразумевающую, что частные графические схемы повторно встречаются в идентичных или очень похожих формах на нескольких различных порядках величины.»1

Фрактальные структуры можно встретить в природе повсюду: в форме папоротников, в береговая линии, в кристаллах и даже в некоторых сортах цветной капусты.

Термин «фрактал» ввел Бенуа Мандельброт (Benoit B. Mandelbrot, 20.11.1924 - 14.10.2010): «Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т. е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом,...помимо значения "фрагментированный"... слово fractus должно иметь и значение "неправильный по форме"»2

Большой интерес к фрактальным структурам в восьмидесятых годах прошлого столетия был вызван графическими изображениями фракталов. Однако первые исследования структур, обладающих самоподобием, проводились столетием ранее. Еще в 1872 году Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако построение Вейерштрасса было абстрактно и трудно для восприятия. В 1904 году швед Хельге фон Кох построил непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной. Оказалось, что она обладает свойством самоподобия.

1.2. Классические фракталы

1.2.1. Канторово множество

Канторово множество – один из простейших фракталов, описанный в 1883 году Георгом Кантором.  Это множество является подмножеством единичного отрезка.

Рассмотрим классический способ построения Канторова множества (рис. 1). 

Рисунок 1 Первые 7 шагов построения Канторова множества3

Возьмем единичный отрезок . Разделим этот отрезок на три равные части и удалим средний отрезок . Получим На следующем шаге каждый из оставшихся отрезков также разбивается на три равные части, каждая средняя треть удаляется. И так до бесконечности. Получим бесконечную последовательность замкнутых множеств

Канторовым множеством (Канторовой пылью) называется множество всех точек, которые не были удалены ни на одном из бесконечного количества шагов данного процесса.4

1.2.2. Снежинка Коха

Снежинка Коха является одним из первых фракталов, изученных математиками. Этот фрактал можно составить из трех копий кривой Коха, впервые описанной шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году. Эта кривая была описана в качестве примера непрерывной линии, нигде не  дифференцируемой. Линии с таким свойством были известны и раньше, но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции.

На рис. 2  показано, как по шагам строится кривая Коха.

Рисунок 2 Этапы построения кривой Коха5

На первом шаге итерации берется отрезок. Затем отрезок разбивается на три равные части, средняя из которых достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная, состоящая из четырех звеньев. К каждому из отрезков применяется такая же операция, и получается следующий шаг построения. И так до бесконечности.

Получим бесконечную последовательность ломаных линий. Предельная кривая называется кривой Коха.

Три копии кривой Коха, построенные на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха( рис. 3)

Рисунок 3 Этапы построения снежинки Коха6

1.2.3. Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского (другое название – салфетка Серпинского) является одним из первых примеров фракталов. Он был описан в 1915 году польским математиком Вацлавом Серпинским и встречается в итальянском искусстве с 13 века.

Процесс построения треугольника Серпинского представлен на рис. 4.

Рисунок 4 Построение треугольника Серпинского7

На первом этапе берется равносторонний треугольник. Средними линиями исходный треугольник разбивается на 4 равносторонних треугольника. Центральный (перевернутый) треугольник удаляют. Следующим шагом описанную операцию применяют к трем оставшимся треугольникам (разбивают каждый на 4 части средними линиями и т. д.). И так до бесконечности. Предельным объектом построения и будет треугольник Серпинского (рис. 5)

Рисунок 5 Треугольник Серпинского

1.2.4. Кривая Минковского

Кривая Минковского является классическим геометрическим фракталом, описанным Германом Минковским. Другое название этого фрактала – сосиска Минковского8 .

Этапы построения кривой Минковского изображены на рис. 6. На первом этапе берется отрезок. Затем отрезок преобразуется в ломаную (см. рис.). На втором шаге процедура применяется к каждому из 8 звеньев ломаной. И так далее, до бесконечности. Предельная кривая называется кривой Минковского.