Раздел 1. Линейная алгебра Тема 1.1. Матрицы, определители (стр. 3 )

3. Если две  строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак.

4. Общий множитель элементов любой строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если к элементам одной строки  (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

       Как сказано выше, с помощью этих свойств можно привести определитель к такому виду, у которого есть строка (или столбец), в которой отличен от нуля только один элемент. Для приведения определителя к такому виду необходимо:

Вынести общие множители (если таковые имеются) из строк или столбцов за знак определителя (свойство 4.) . Это позволяет уменьшить элементы определителя (что облегчает его дальнейшее вычисление), а также, возможно, получить элементы, равные 1 или (−1), что поможет выполнению следующего пункта. Выбрать строку (или столбец), в которой есть элемент 1 или (−1) (если такие строки или столбцы есть) и с помощью этого элемента (и  последнего свойства определителей) обнулять остальные элементы выбранной строки или столбца.

Иллюстрирует сказанное следующий пример        

Пример.  = {вынесем 2 из второй строки (свойство 4)} =
2∙ = {С помощью элемента а22=1 и свойства 5 обнуляем все элементы второй строки, кроме самого а22=1. Для этого а)  прибавляем к 1-му столбцу 2-ой, умноженный поэлементно на (−5); б) прибавляем к 3-му столбцу 2-ой, умноженный на (−1); в) прибавляем к 4-му столбцу 2-ой, умноженный на (−3)} = 2∙ = {раскладываем определитель по второй строке} =2∙1∙(−1)2+2 ∙ = {для облегчения вычисления определителя 3-го порядка выносим (−1) из первых двух столбцов, а из третьего (−2) }= −4∙ = {вычисляем определитель третьего порядка по упрощенной схеме}= 440

Домашнее задание

Л3, стр. 105-108 () Л4, стр. 71-81, № 35; 39 (, )

№35. Вычислить определитель

№39. Вычислить определитель

Занятие №3 

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители

Обратная матрица.

Вспомним свойства определителей, и как с их помощью можно вычислять определители

Задание №12. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ.

Обратная матрица

Рассмотрим обычное простейшее уравнение 2х=4. Известно, что для его решения необходимо разделить обе части этого уравнения на 2. Деление на 2 можно представить как умножение на число , которое, в свою очередь, может быть записано как : . Число называется числом, обратным к числу 2, поскольку в произведении эти числа дают 1. В общем случае уравнение решается умножением обеих частей уравнения на число (если ), которое называется обратным к числу и определяется как число, дающее в произведении с число 1: . Таким образом, Напомним, что обратное число существует для всех чисел , кроме Сейчас мы по аналогии с обратным числом введем понятие обратной матрицы, которое нам поможет решать уже не одно уравнение, а целые системы уравнений определенного вида.

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если . Отметим, что в этом определении обратной матрицы недостаточно требовать, чтобы произведение матриц A и B  в каком-либо одном порядке давало единичную матрицу, так как для матриц нет гарантии, что произведение этих матриц в другом порядке тоже даст единичную матрицу (в общем случае, как мы уже убеждались, ).

Из определения следует, что обратная матрица B будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица A (иначе, как легко убедиться,  одно из произведений  или было бы не определено). Обратная матрица для любой матрицы A  единственна (если существует) и обозначается по аналогии с обратными числами.  Таким образом, если есть матрица, обратная к матрице A, то выполняется:

.

Для всех ли обратных матриц существуют обратные?  Как было сказано раньше, даже не для всех чисел существует обратное: для числа 0 обратного нет. Похожая ситуация наблюдается и с матрицами. Матрица называется вырожденной, если ее определитель = 0 и для такой матрицы обратной не существует. Справедлива следующая теорема:

Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы A вида (2) существует тогда и только тогда, когда матрица A невырожденная. В этом случае  обратная матрица единственна и представляется в виде

(5)  ,

где − алгебраические дополнения  элементов исходной матрицы.

Формула (5) обосновывает следующий  алгоритм вычисления обратной матрицы (на примере матрицы размера 3х3) для матрицы

А = .

1. Вычисляем определитель матрицы Δ= .

2. Вычисляем алгебраические дополнения всех ее элементов .