Раздел 1. Линейная алгебра Тема 1.1. Матрицы, определители (стр. 1 )

Занятие №1 

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы, определители

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия с матрицами: сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножение матриц, возведение в степень.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Обозначаются прописными буквами  А, В, С, ….. 

Общий вид матрицы, содержащей m строк и n столбцов:

(1)  А = 

Внизу справа при необходимости подписываются размеры матрицы: m – количество строк, n – столбцов.

Числа  , составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матричные элементы обычно обозначаются той же буквой (только строчной), что и сама матрица, а индексы показывают место элемента матрицы в матрице: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный матричный элемент. Например,  для матрицы

А = элементы  ,  ….

Матрицы (так же как и числа) можно вычитать, складывать, перемножать. Поэтому среди матриц есть аналоги нуля и единицы. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Она имеет следующий вид и обозначение:
  О =

Если в матрице  (1) поменять местами строчки и столбцы (т. е. первую строчку сделать первым столбцом, вторую строку – вторым столбцом и т. д.), то полученная матрица носит название транспонированной по отношению к исходной матрице и обозначается  или:

А’  =

Квадратная матрица – матрица, число строк и столбцов у которой совпадают. Общий вид квадратной матрицы:

(2)  А = 

Числа  называются главной диагональю квадратной матрицы.

След матрицы  - это сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы: Sp( A ) = a11 + a22 + ... + aii + ... + ann

Дана квадратная матрица A размерностью 3

А =

Решение:

Чтобы вычислить след исходной матрицы, нужно сложить элементы на главной диагонали:

Sp( A ) = 2 - 1 + 3 = 4

Ответ: След матрицы A равен 4

Единичной называется такая квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю:

(3)  Е = 

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Операции с матрицами

1. Сумма матриц: А + В. 

Складывать можно только матрицы одного размера. При сложении двух матриц одного размера получается матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов слагаемых матриц, стоящих на соответствующих местах.

Пример.

Пусть  ,  .  Тогда

А + В = +  = 

Аналогично определяется вычитание матриц:

А – В = –  =  .

2. Умножение числа на матрицу.

При умножении числа на матрицу каждый ее элемент умножается на это число.

Пример.

, тогда .

Матричные уравнения

Это уравнения, в которых неизвестной является матрица.

Пример. Даны матрицы и . Найти матрицу , удовлетворяющую следующему матричному уравнению  .

Решение. Сначала рассматриваем это уравнение как обычное числовое и находим формулу для . Затем действия, предписываемые этой формулой, выполняем по правилам действий с матрицами. Решая обычным способом уравнение  , получаем .  По правилу умножения числа на матрицу , по правилу вычитания матриц  . Наконец, по правилу умножения числа на матрицу неизвестная матрица  .

3. Умножение матриц :

Далеко не все матрицы можно перемножать.

Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Таким образом, если порядок матрицы A равен m Ч p, то порядок согласованной с ней матрицы B должен быть равен p Ч n. Перемножать можно только согласованные матрицы  (отметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы).

Произведением двух согласованных матриц A (размера m Ч p) и B (размера
p Ч n ) называется матрица C (размера m Ч n) , элементы которой вычисляются по правилу: элемент матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

Например, если требуется получить элемент c21, то нужно вторую строку матрицы A "умножить" на первый столбец матрицы B. Рассмотрим конкретные матрицы

,  .

Число столбцов матрицы A и число строк матрицы B равны 2, значит, A и B согласованы, причем матрица А∙В будет размера 3х2 . Тогда по определению  произведение этих матриц  А∙В вычисляется следующим образом:
  .
Найти в этом случае произведение B∙A невозможно, т. к. матрицы B и A не согласованы. Отсюда следует, что если две матрицы можно перемножить в одном порядке, то это не означает, что их можно перемножать в другом порядке. Можно показать, что в общем случае, даже когда произведения AB и BA определены, они не всегда дают  одну и ту же матрицу (даже размерности матриц АВ и ВА могут быть разными).

Свойства операции умножения матриц.

А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС; k(АВ)=( kА)В = А(kВ),  k -  некоторое число; А(ВС)=(АВ)С; А  ·  Е  =Е·А =А, где Е – единичная матрица.

  nЧn  nЧn  nЧn

Пример.  Пусть  ,  . Тогда , а