Таким образом, рассматриваемая система принимает вид:
(2.16)
с начальным условием a(0)=1. В выбранном базисе для матричных элементов
в представлении “длины” имеем следующие выражения:
(2.17)
(2.18)
где
.
3. Физическая модель.
Рассмотрим процессы, описываемые системой уравнений сильной связи (2.16). Члены с матричными элементами 
описывают взаимодействие основного состояния с непрерывным спектром. Причем вследствие правил отбора дипольного приближения основное состояние может взаимодействовать лишь с теми состояниями непрерывного спектра, у которых квантовые числа абсолютных величин момента, l=1. Члены с матричными элементами 
описывают взаимодействия различных состояний непрерывного спектра отличающиеся как энергией так и моментом l. Некоторые из этих состояний не взаимодействуют с дискретным уровнем, но взаимодействуют с состояниями l=1. На представленной схеме (рис 3.1) легко изобразить основные возможные типы взаимодействий в данной системе и их влияние на населенность дискретного уровня. Здесь по оси абсцисс отложены квантовые числа абсолютных величин момента, а по оси ординат - энергии электрона p2/2. Все состояния непрерывного спектра на этой схеме отображаются в виде полосок, параллельных оси ординат и существующих при положительных энергиях, а состояние дискретного спектра изображается точкой (1, -1/2). Вследствие правил отбора переход в дискретное состояние может осуществляться лишь с состояний с l=1. Таким образом если электрон покинул это состояние, благодаря свободно-свободному переходу, то у него будет шанс попасть на дискретный уровень только лишь вернувшись на линию l=1. Т. е. путь его блужданий должен иметь вид 1 или 2. Кроме того, безусловно, электрон может уйти в состояния с большими l по путям 3 и 4, благодаря чему состояния с l=1 будут оголяться. В итоге оказывается, что населенность дискретного уровня сильно зависит от того, какие пути в непрерывном спектре преобладают, типа 1 и 2, или 3 и 4, т. е. от вероятностей свободно-свободных переходов.
Рассмотрим теперь скорости этих процессов в зависимости от времени, с целью выяснить когда вклад каждого из них преобладает (если это имеет место). Для этого исследуем положение особых точек матричных элементов 
и 
. Основной вклад в решении уравнений для взаимодействия основного состояния и непрерывного спектра дает перевальная точка келдышевской экспоненты в 
.
(3.1)
Исследовав рассматриваемый переход в рамках теории возмущений, нетрудно выяснить, что наибольшее взаимодействие основного состояния происходит с состояниями непрерывного спектра с 
(см. распределение (5.1)). Таким образом, при 
>>1 (реально
>3), имеем 
, т. е. при этом условии взаимодействие непрерывного спектра с основным состоянием происходит в малых окрестностях точек 
(j=1,2,…N). Вне этих областей основное состояние практически не взаимодействует с континуумом (см. п. 5). В последних существенны лишь свободно-свободные переходы, вызывающие отток из состояний с l=1 в состояния с другими l, а так же переход в другие по энергии состояния непрерывного спектра. В области неадиабатического взаимодействия основного состояния с непрерывным спектром, напротив, роль свободно-свободных переходов мала. Следовательно, целесообразно разделить все время взаимодействия атома с внешним полем на интервалы 
, где учитывается только взаимодействие непрерывного спектра с основным состоянием и система описывается уравнениями:
(3.2)
и интервалы 
, где учитываются лишь свободно-свободные переходы, и система описывается уравнениями:
(3.3)
На границе этих интервалов соответствующие решения будут сшиваться.
В дальнейшем будим рассматривать именно эту модель. Соответственно будет предполагаться, F/
>>1. Способы решения систем (3.2) и (3.3) будут рассмотрены в п. 4 и 6-8 соответственно.
4. Построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений для описания взаимодействия основного
состояния с состояниями с l=1 непрерывного спектра
Рассмотрим общий вид системы, описывающей взаимодействие основного состояния с состояниями непрерывного спектра с l=1. Она имеет вид:
(4.1)
Данная система сохраняет нормировку 
Зададимся целью свести данную систему уравнений приближенно к виду
(4.2)
Эта система сохраняет нормировку 
и описывает взаимодействие двух дискретных уровней.
Сделаем замену:
(4.3)
и рассмотрим свойства, которыми должны обладать 
чтобы (4.2) приближала (4.1) как можно точнее. Прежде всего, потребуем
(4.4)
После замены, домножения на 
и интегрирования по 
получаем:
(4.5)
обозначив
(4.6)
(4.7)
где 
- вещественно. Тогда произведя замену:
(4.8)
система будет приведена к виду:
(4.9)
где
(4.10)
Для выяснения свойств 
и подбора фазы 
(t) сведем системы (4.1) и (4.9),(4.10) к соответствующим дифференциальным уравнениям относительно только одной неизвестной a(t) и сравним эти уравнения. Для получения такого уравнения из (4.9) сделаем замену:
(4.12)
приводящую к системе:
(4.13)
Исключив из этой системы p, и проведя дифференцирование по времени получим относительно q уравнение:
(4.14)
Если провести те же преобразования с (4.1) то получим уравнение, аналогичное (4.14):
(4.15)
Начальные условия в обоих случаях одинаковы: q(0)=1 и a(0)=1. Если 
т. е. 
– истинное распределение по 
,то член в фигурных скобках в (4.15) равен нулю. Однако даже если не удалось найти правильное выражение для 
, можно подбором 
(t) добиться близости решений (4.14) и (4.15). Действительно, если 
- решение задачи
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
