Дипломная работа “О влиянии переходов в непрерывном спектре на процесс ионизации атомов.” (стр. 4 )

  (6.7)

где     

Выразим гипергеометрическую функцию от z через гипергеометрические функции от 1/z

    (6.8)

Благодаря тому, что для функций от 1/z хорошо работает приближенное выражение через функции Бесселя

  где    (6.9)

Проведя необходимые выкладки, нетрудно получить

(6.10)

где   

Данный результат аналогичен квазиклассическим матричным элементам [16], а также переходит в фурье-компаненты радиус-вектора электрона при классическом рассмотрении задачи [17].

        Воспользовавшись для функций ганкеля асимптотикой

  (6.11)

можно получить

  (6.12)

Предположив, что все угловые распределения нормированы на единицу, можно провести в (6.6) приближенное интегрирование по углам и получить систему для . C использованием матричного элемента (6.12) она будит иметь вид

  (6.13)

где    (6.14)

   

       Для дальнейшего упрощения данной системы воспользуемся приближенным выражением для

  (6.15)

для этого усредним его по нормированному на единицу распределению.

  (6.16)

Предположим, что получившееся выражение слабо зависит от времени (что подтверждается расчетами). Тогда можно заменить его на значение в начале рассматриваемого интервала. Перейдя, наконец, от полного импульса p к полной энергии получим следующее окончательное уравнение

  (6.17)

где

  (6.18)

Данное уравнение имеет решение в квадратурах, наиболее простой вид которого будет представлен в п. 9.

       Подход, представленный здесь, использует тот факт, что в сильном внешнем поле распределение по энергии оказывается слабо зависящим от распределения по углам, что позволяет написать для него отдельное уравнение. К сожалению, мы пока не можем получить точного углового распределения, и, следовательно, распределения по моменту импульса. Для их приближенного вычисления приходится прибегать к  некоторым простым моделям, описанным в п. 7.

7. Определение распределения по собственным числам

момента импульса

       Как отмечалось в п. 7 в рассматриваемом подходе распределения по углам вычислить не удается. Однако в принципе нас интересует не непосредственно распределение по углам, а распределение по значениям момента l. Конкретно нас интересует значение интеграла

  (7.1)

квадрат модуля которого равен вероятности, что электрон находится в состоянии с l=1. Конечно, использовав известное распределение по энергии, можно записать уравнение для , однако, это уравнение сложно. Поэтому воспользуемся простой моделью, которая позволила бы хотя бы приближенно описать поведение интересующей нас величины.

       Попробуем написать приближенную систему уравнений, описывающую поведение вероятностей =, т. к. фазу можно будет найти из других соображений (см. п. 9). Согласно правилам отбора переходы в состояния с данным l могут происходить лишь с состояний с l+1 и l-1. Таким образом, рассматриваемая система имеет вид

  (7.2)

Выясним свойства коэффициентов . Так как мы ищем действительные, то можно считать и искомые коэффициенты действительными. Далее, рассмотрим квазиклассические матричные элементы свободно-свободных переходов [см. 11]

  (7.3)

Эти матричные элементы совершенно аналогичны (6.10). Нетрудно видеть, что в нашем случае, когда применимо (6.11) они переходят в

  (7.4)

Т. к. (7.2) описывает поведение вероятностей, то . Т. е. система имеет вид:

  (7.4)

Его решение можно записать в виде матричной экспоненты

  (7.5)

где

нас интересуют распределения в моменты . Таким образом, зависимость от решения от времени определяется лишь интегралом

  (7.6)

который должен быть одинаков для любого отрезка . Действительно, внешнее поле периодично и линейно поляризовано, так что на любом полупериоде средний момент импульса фотонов поля равен нулю. Следовательно, нет необходимости знать конкретный вид функции .

Далее заметим, что нас интересует лишь отношения населенностей состояний с разными l. Действительно, окончательный результат должен быть нормирован на единицу. Проведя простые исследования, можно прийти к заключению, что существует очень большая область значений интеграла, внутри которой отношения населенностей состояний с разными l  мало меняются.

Таким образом, в дальнейшем можно просто положить =const подобрав эту константу таким образом, чтобы значение интеграла оказалось в описанной выше области. Тогда окончательно система принимает вид:

  (7.7)

Если отрезку сопоставить изменение x от 0 до 1, то можно взять  =10. Вычислив по (7.7) распределение по l в точке и учтя изменение населенности состояния с l=1 из-за взаимодействия с основным состоянием, можно получить начальные условия для вычисления распределения по l в точке . Графики соответствующих распределений будут представлены в п. 10. Для получения модуля интеграла (7.1) в точке из решения (7.7) следует отнормировать последнее условием и воспользоваться соотношением .

8. Учет взаимодействия непрерывного спектра с ридберговскими состояниями

       Попытаемся учесть возможность заселения ридберговских состояний из непрерывного спектра. Для этого проведем процедуру, обратную известной вейлевой дискретизации (Вейль 1910).

       Рассмотрим следующую функцию

  (8.1)

здесь - кулонова функция непрерывного спектра, , - энергия связного состояния с энергетическим квантовым числом n. . Тогда функция переходит в функцию связного состояния с энергией при . Действительно, она является решением уравнения Шредингера с собственной энергией . Кроме того, если функции непрерывного спектра ортогональны и нормированы на дельта функцию от энергии, то функции оказываются ортогональны и нормированы как функции дискретного спектра. Нетрудно теперь сопоставить коэффициенты в линейных комбинациях, представляющих одну и ту же функцию через функций дискретного спектра и через аналитические продолжения функций непрерывного спектра в область отрицательных энергий.