Выпускная квалификационная работа Двухфазное течение в узком канале с источниками на границе (стр. 4 )

;                ;        ;                ;                (1.17)

Данная система уравнений решается при следующих граничных условиях:

На входе в канал при x=0 заданы входное давление , температура , газосодержание , а также . На выходе давление равно давлению окружающей среды , остальные параметры свободны. На аноде при y=0: , остальные параметры свободны. На катоде при y=h(x): , газонаполнение равно некоторому постоянному значению , зависящему от размеров первичных пузырьков, поперечная скорость электролита определяется расходом газа с поверхности катода , то есть , остальные параметры свободны.

1.2        МЕТОД РЕШЕНИЯ

Для решения системы уравнений (1.17) использовался двухшаговый метод Мак-Кормака. [6,7] Данный метод один из наиболее используемых при решении задач газовой динамики. Данный метод обладает тем неоспоримым преимуществом, что не требует использования полуузлов.

Рассмотрим данную схему на простом примере одномерного линейного уравнения переноса (2.17).

                                       (2.17)

Первый шаг данной схемы – предиктор (2.18)(шаблон на рис.1):

                               (2.18)

Второй шаг данной схемы – корректор (2.19)(шаблон на рис.2):

                       (2.19)

                       

Рис.1(шаблон шага предиктор)        Рис.2(шаблон шага корректор)

Можно делать наоборот: в предикторе использовать разности назад, а в корректоре – разности вперед. Можно при расчете чередовать эти варианты. Схема Мак – Кормака обладает вторым порядком точности с погрешностью аппроксимации .

Условием устойчивости является условие КФЛ: .

Применим схему Мак – Кормака для системы уравнений (1.17).

Первый шаг (предиктор) будет выглядеть следующим образом:

Второй шаг (корректор):

где                                                                        

                               

ГЛАВА 2

2.1                ТЕСТОВАЯ ЗАДАЧА

Поскольку сформулированная задача является весьма сложной и малоисследованной, возможность применения численного метода Мак - Кормака не является тривиальным, поэтому сначала исследуем свойства метода на простой тестовой задаче о движении волны в ударной трубе.[7]

Ударная труба – это экспериментальная установка, представляющая собой длинную трубу с закрытыми торцами, разделенную диафрагмой на две камеры: короткую – высокого давления и длинную – низкого давления. Когда диафрагма разрывается, на границе прежде разделенных газов образуется разрыв параметров – давления, плотности и т. д., который через короткое время образует ударную волну, движущуюся в направлении низкого давления со сверхзвуковой скоростью. За ударной волной формируется область повышенного давления, вслед за которой движется волна разрежения. Ударная волна отражается от стенки в торце трубы и движется в обратном направлении, еще раз повышая давление в торцевой части трубы.

С хорошей точности можно считать этот процесс одномерным (т. е. параметры газа постоянны в любом сечении, перпендикулярном оси трубы), а газ – идеальным. Для простоты не будем рассматривать процесс формирования ударной волны и ограничимся рассмотрением той части газа высокого давления, куда не дошли волны разрежения. Будем считать течение адиабатическим (но не изоэнтропическим).

Уравнения нестационарного одномерного движения невязкого газа получим из (2.1)-(2.5).

                                               (2.1)

               (2.2)

               (2.3)

               (2.4)

                       (2.5)

Так как параметры газа постоянны в любом сечении, перпендикулярном оси трубы производные по и тождественно равны нулю. Также нулю равны компоненты скорости и . Так как газ считается идеальным то все компоненты так же равны нулю. Приняв во внимание данные упрощения мы можем записать уравнения нестационарного одномерного движения невязкого газа (2.6)-(2.11). Данные уравнения получаются из предыдущих, если мы берем только газовую фазу и одномерное приближение: