Выпускная квалификационная работа Двухфазное течение в узком канале с источниками на границе (стр. 7 )

- вязкий тензор;

Линейный закон Стокса связывает тензор напряжений с гидростатическим давлением и вязким тензором.

;                                                (2.21)

;                                        (2.22)

Здесь - метрический тензор, - второй коэффициент вязкости, - коэффициент динамической вязкости, - тензор скоростей деформации.

Подставляя (3.2) в (3.1) получаем следующее выражение:

                               (2.23)

Здесь - обычный коэффициент динамической вязкости, а , где в данном случае второй объемный коэффициент вязкости. В стандартной модели вязкой жидкости (газа) полагают . Если же, наоборот, предположить, что , а , то и вместо уравнений (2,6)-(2,8) для полностью невязкого газа мы получим следующий их аналог для “объемно вязкого” газа:

                                                       (2.24)

                               (2.25)

                       (2.26)

где , , параметры с индексом (0) – характерные масштабы, остальные величины - безразмерные. Введем в рассмотрении коэффициент диффузии , построенный на объемной вязкости в виде:

Тогда система (2.24)-(2.26) запишется в виде, аналогичном (2.20):

                                               (2.27)

где        

По сравнению с (2.20) здесь добавилось только по одному слагаемому к компонентам и матрицы , и следовательно, вся схема расчета разностным методом может быть сохранена прежней.

Фон Нейман и Рихтмайер предлагают для выражение:

                                       (2.28)

где - произвольный коэффициент, подбираемый из условия наилучшего сглаживания решения, величина порядка единицы.

Влияние данного коэффициента можно видеть на рисунках 39-42при:

Рис.39:Распределение давления с разными коэффициентами b.

Рис.40:Распределение плотности с разными коэффициентами b.

Рис.41:Распределение скорости с разными коэффициентами b.

Рис.42:Распределение энергии с разными коэффициентами b.

Из графиков видно, что осцилляции уменьшаются с ростом коэффициента b. Для сравнения решений полученных для невязкого газа с решениями полученными для газа с введенной искусственной вязкостью был выбран коэффициент b=0,7. На рисунках 43-46 приведены полученные результаты при:

Рис.43:Сравнение распределения давления вязкого и невязкого газа

Рис.44:Сравнение распределения плотности вязкого и невязкого газа

Рис.45:Сравнение распределения плотности вязкого и невязкого газа

Рис.46:Сравнение распределения энергии вязкого и невязкого газа

Из данных графиков видно, что введение искусственной вязкости уменьшило осцилляции, особенно её эффект проявляется при отражении.

2.4        ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА

Двумерную задачe так же как и одномерную будем получать из системы уравнений (2.1)-(2.5). Принимая во внимания все те же упрощения кроме равенства нулю производной по.

Поэтому система уравнений для двумерной задачи о движении ударной волны будет выглядеть следующим образом:

                                               (2.28)

                       (2.29)

                       (2.30)

                       (2.31)

                                                               (2.32)

                                                               (2.33)

                                                               (2.34)

Метод Мак – Кормака для уравнений (2.28)-(2.34) будет так же как для одномерной задачи с добавкой производной по.

                                       (2.35)

где