Тема работы: Исследование влияния спиральности на вихревую динамику в изотропной турбулентности (стр. 2 )

Глава 1. Изотропная турбулентность

Однородная изотропная турбулентность в трехмерном случае

Изотропная турбулентность представляет собой турбулентное течение, для которого все статистические параметры течения одинаковы во всех направлениях и не зависят от времени.

В трехмерной изотропной турбулентности накачка энергии в поток происходит в некотором узком диапазоне масштабов, а затем за счет взаимодействиях вихрей энергия передается в направлении мелких масштабов и в итоге диссипируется в тепло. Таким образом, формируется, так называемый, каскад турбулентности, который занимает определенный спектральный интервал, называемый инерционным. Именно колмогоровская теория описывает, как энергия передается с больших масштабов к более мелким, какое количество турбулентной энергии несут вихри заданных размеров и диссипацию энергии на различных масштабах течения.

Далее, мы определим три основных масштаба турбулентности:

Интегральный масштаб Колмогоровский масштаб Тейлоровский масштаб

Как известно, развитие турбулентности течения характеризуется числом Рейнольдса:

	(3)

Где U – средняя скорость, L – масштаб течения, н – кинематическая вязкость. Но в случае изотропной турбулентности средняя скорость течения равна нулю, и поэтому не удается определить число Рейнольдса в таком виде. Кроме того, максимальный масштаб течения явно не задан. Таким образом, возникает потребность модифицировать данный критерий под нашу задачу.

Мы можем определить масштаб наиболее крупных вихрей в потоке, , исходя из следующих соображений:

Вихри размера имеют характерную скорость и характерное время

Их характерная скорость порядка величины амплитуды турбулентных пульсаций: , где k – энергия турбулентности

Энергия вихря с характерной величиной скорости диссипируется за время, пропорциональное

Затем, из соображений размерности мы получаем масштаб длины:

(4)

Где - величина диссипации.. Данный масштаб длины обычно называют интегральным (то есть максимальным) масштабом турбулентности.

Число Рейнольдса, связанное с крупными вихрями определяется следующим образом:

(5)

Такие вихри имеют энергию порядка и временной масштаб , скорость передачи энергии может быть оценена как . Таким образом, в соответствии с экспериментальными наблюдениями в свободных сдвиговых течениях диссипация оказывается пропорциональной , не зависимой от величиной.

Для однородной турбулентности ее энергия одинакова всюду. В изотропной турбулентности поведение вихрей одинаково во всех направлениях . Но даже в случае анизотропии или отсутствия однородности на крупных масштабах,  согласно теории Колмогорова информация о направленности теряется в процессе передачи энергии на более мелкие масштабы, приводя к статистически однородному полю турбулентных пульсаций. Это происходит, так как при взаимодействии вихри наматываются друг на друга, хаотически изменяя направление вращения. Таким образом, при очень больших числах Рейнольдса мелкие масштабы () турбулентных течений становятся статистически изотропны.

Очевидно, что с уменьшением масштаба вихря растет воздействие вязкости на него, приводя к его расплыванию, и уменьшению амплитуды, таким образом, на каких-то масштабах каскадная передача энергии заканчивается, и энергия вихрей переходит в тепло. Интенсивность передаваемой через инерционный интервал энергии должна на этом масштабе быть скомпенсирована вязкостью потока. Откуда следует, что данный масштаб (называемый Колмогоровским, или вязким масштабом) будет зависеть только от величины диссипации энергии и кинематической вязкости. Из соображений размерности получается выражение (1). При этом число Рейнольдса, рассчитанное по вязкому масштабу будет:

(6)

Оба из приведенных выше масштабов для своего вычисления требуют знания величины диссипации энергии. Часто измерить диссипацию в потоке может быть затруднительно, поэтому возникла необходимость в более простом и практичном критерии для оценки степени турбулентности.

Величину диссипации можно определить из уравнения сохранения энергии турбулентности при условии малого среднего сдвига, , следующим образом:

(7)

где - тензор напряжений, рассчитанный по пульсациям скорости (скорость представляется в виде суммы среднего и пульсаций: ). В выражениях выше, черта означает осреднение по времени либо по однородному направлению в потоке. Из выражений видно, что величина диссипации зависит от вязкости и градиентов скоростей в турбулентных вихрях. Модифицируя данное выражение для случая изотропной турбулентности, получим:

(8)

Тейлоровский микромасштаб определяется следующим образом:

	(9)
	(10)

То есть, средняя амплитуда градиента пульсаций представляется в виде отношения средней амплитуды пульсаций и некого фиксированного пространственного масштаба. Этот масштаб характеризует среднюю длину волны пульсаций в потоке. Как видно, величину данного масштаба легко оценить из наблюдаемой временной последовательности значений скорости в одной точке, что делает ее очень удобной в практических расчетах. Данный масштаб лежит в области инерционного интервала посередине: между вязким и интегральным масштабами течения.

Выражение для диссипации преобразуется к следующему виду:

(11)

Далее, введем число Рейнольдса на основе тейлоровского масштаба и средней амплитуды пульсаций скорости:

(12)

Легко установить связь между числами Рейнольдса по тейлоровскому и интегральному масштабам:

(13)

Данный критерий часто используется для оценки степени турбулентности в течениях при отсутствии выделенных направлений, например в изотропной турбулентности.

Энергия турбулентности даётся выражением:

(14)

Стоит определить, как энергия турбулентности распределяется по масштабам. Для этого следует рассмотреть энергетический спектр:

(15)

где - энергия, содержащаяся в вихрях с линейным размером ~l и волновым числом . Энергия, содержащаяся в вихрях с волновыми числами, лежащими в промежутке от κA до κB, будет следующей: