Тема работы: Исследование влияния спиральности на вихревую динамику в изотропной турбулентности (стр. 5 )

Рассмотрим то же самое сечение. Посмотрим, каким образом спиральность влияет на вихревую динамику. Будем использовать два критерия: растяжение вихрей (22) и перенос энергии по масштабам (23).

Рис 10 (a) растяжение вихрей в одном сечении потока (b) поток энергии турбулентности через выделенный масштаб k=10, (с) линии тока в вихре наложенные на распределение растяжения вихрей.

На рисунке 10(a) мы видим, что вокруг вихря концентрируется как сильно положительное, так и сильно отрицательное растяжение вихрей при этом положительное растяжение соответствует области “конвергенции” а а отрицательное соответствует области дивергенции. Спектральный поток энергии (рис 10б) ведет себя аналогично. Таким образом, вихрь работает как сепаратор, который разделяет поток вокруг себя на области с положительным спектральным переносом энергии и положительным растяжением вихрей и отрицательным переносом энергии и растяжением вихрей. Данный эффект очень интересен и требует детального изучения.

Для проверки того, что в расчетах не присутствуют численные артефакты связанные с конечным разрешением (так как максимальный масштаб течения был близок к масштабу накачки), был проведен дополнительный расчет на сетке с в 8 раз большим разрешением (512x512x512), для того же, что и ранее числа Рейнольдса, но с масштабом накачки сильнее сдвинутым в область разрешенных масштабов (k=10).

Спектры энергии и спиральности, построенные для этого случая приведены на рис 11. В целом они подтверждают ранее приведенные выводы для случая с более низким разрешением. Отличия в данном случае наблюдаются в области низких частот перед масштабом накачки, там спектр энергии имеет существенно большую амплитуду в спиральной турбулентности, что может подтверждать ранее приведенные выводы о том, что спиральность влияет на диссипацию на крупных масштабах. Спектры спиральности ведут себя аналогично с рис 6. В случае спиральной накачки отношение среднего отрицательного растяжения вихрей к среднему положительному меняется с 0.2 на 0.3.

Рис 11 Спектры энергии турбулентности (a) и спиральности (b) для расчета с высоким разрешением

Выводы главы 1

Были проведены расчеты изотропной турбулентности в случае классической, неспиральной накачки, а также в случае со спиральной накачкой для различного числа узлов сетки и различного масштаба накачки. Было обнаружено, что спиральность выделенного знака концентрируется на крупных масштабах, при этом на мелких масштабах течение остается практически изотропным. Было обнаружено влияние спиральности на растяжение вихрей приводящее к изменению средней доли отрицательного растяжения в потоке по отношению к положительному. Отношение отрицательного к положительному растяжению увеличивается в спиральном случае в 1.5 раза, однако среднее растяжение все равно остается положительным и практически не меняется.

Были найдены крупные вихревые образования, концентрирующие в себе спиральность. В этих образованиях также отмечается присутствие обратного переноса энергии и отрицательного растяжения вихрей.

Глава 2. Взаимодействие вихревых трубок. Лагранжево моделирование.

Метод вихрей

В расчетах спиральной турбулентности приведенных в предыдущей главе  наблюдалось формирование крупных вихревых образований, концентрирующих в себе спиральность одного знака. При этом в данных вихрях наблюдались зоны с отрицательным спектральным переносом энергии и отрицательным растяжением вихрей.

Поскольку данные явления представляют большой научный интерес как примеры самоорганизации, было решено, что следует подробнее исследовать механизм взаимодействия отдельных вихревых трубок и их эволюции.

В качестве инструмента для моделирования процесса взаимодействия отдельных вихревых трубок с различной спиральностью был выбран метод дискретных вихрей [9], который позволяет аппроксимировать непрерывное поле завихренности дискретным набором отрезков вихревых нитей. Данный метод является бессеточным и позволяет исследовать локальные характеристики взаимодействующих вихревых трубок.

Для расчета поля скорости, индуцируемого вихревой нитью можно использовать аналогию с магнитным полем проводника, подчиняющимся закону Био-Савара. В несжимаемой гидродинамике при этом поле скорости аналогично магнитной индукции, а произведение завихренности на площадь сечения трубки - электрическому току через проводник. Таким образом, используя приведенную выше аналогию, получаем, что закон Био-Савара также может быть применен для вычисления скорости вихря в несжимаемой среде.

(28)

Рассматривая (28), следует отметить, что введение в уравнение величины d, радиуса ядра вихря, необходимо для устранения сингулярности в поле скоростей (рис. 13(а)) при r=0.

Рис 12 (a) распределение скорости в зависимости от расстояния от оси вихря, (b) распределение завихренности внутри вихревой трубки

При получении завихренности соответствующей формуле (28) (рис. 12(b)) видно, что её распределение имеет форму, подобную гауссовому распределению, с максимумом в центре ядра вихря, и полушириной d. Значение параметра d в расчете было выбрано равным половине расстояния между соседними точками, аппроксимирующими вихревую линию (0.01 от малого радиуса кольца).

Процесс моделирования происходил следующим образом, вихревые нити после построения разделялись на фиксированное число вихревых отрезков малой длины, после чего для каждого из отрезков решалось эволюционное уравнение, совокупность которых аппроксимировало  уравнение эволюции завихренности.

(29)

При этом, для вычисления скорости в точке использовалось выражение (28). Для интегрирования по времени использовалась классическая схема Рунге-Кутта, четвертого порядка точности.

При моделировании эволюции во времени учитывалась возможность перезамыкания вихревых линий.  Механизм перезамыкания заключался в том, что, когда отрезки сближались на расстояние меньше d - проводилось тестовое перезамыкание крест-накрест, подобно тому как это делается в расчетах квантовых вихрей [10]. Если длина линий после перезамыкания была меньше старой, то перезамыкание утверждалось, иначе - производилась отмена перезамыкания. Возможность такого простого алгоритма отработки перезамыканий обеспечивается тем, чтовсе вихри в расчете имели одинаковую интенсивность.

В качестве модели спирального вихря было предложено использовать вихревые кольца, из спиральных вихревых нитей, намотанных на эти кольца аналогично обмоткам трансформатора, с различным числом витков. При этом случаи с различным числом витков моделировали потоки с разной спиральностью. Отношение между большим и малым радиусом колец было выбранным равным 20, расстояние между взаимодействующими участками колец было равно трем малым диаметрам колец.

Рис 13 Слева: иллюстрация вихревых трубок, аппроксимированных семью вихревыми линиями, направление завихренности на поверхности трубок, индуцированное поле скорости в центральном сечении по оси z. Справа: вид с большего отдаления, показана сфера по которой проводилось осреднение характеристик взаимодействия. 

Вихревые кольца, аппроксимированные семью вихревыми нитями располагались под определенным углом друг относительно друга, при этом диаметры колец всегда находились на одной прямой. Одним из исследуемых параметров помимо изменения числа витков был угол между плоскостями колец, который менялся от 0 до 180 градусов. На рисунке 13 изображены взаимодействующие фрагменты двух вихревых колец, направление завихренности на поверхности трубок показано стрелками, также приведено индуцированное вихрями поле скорости в центральном сечении.

Для того, чтобы оценить спиральность различных конфигураций была получена зависимость угла между векторами завихренности и самоиндуцированной скорости внутри кольца в зависимости от числа витков в кольце (рис 14). Видно, что спиральность достигает максимума при n=40, после чего угол опять начинает расти. При этом, при увеличении числа витков вектор скорости меняется с окружного на аксиальный (вдоль кольца) этот процесс аналогичен тому, как линии магнитного поля концентрируются внутри соленоида с увеличением числа витков. Данный процесс сопровождается уменьшением амплитуды поля скорости снаружи кольца. Поскольку длина вихревых нитей увеличивается с количеством витков то и энергия вихря возрастает, чтобы компенсировать этот эффект интенсивность вихревых нитей уменьшалась при увеличении числа витков, так чтобы суммарный момент импульса колец не менялся для разных случаев.

Рис 14 зависимость угла между векторами завихренности и самоиндуцированной скорости внутри кольца от числа витков.

Чтобы получить характеристики потока (например, растяжение вихрей) для взаимодействующих вихревых колец, было необходимо провести осреднение по некоторой области. В качестве области, по которой проводилось осреднение, была выбрана сфера (рис. 13, справа). Это обусловлено тем, что, вне зависимости от угла взаимного расположения вихревых колец, сфера охватывает равные участки каждого из них. Радиус такой сферы был равен 0.3 радиуса кольца.

Результаты главы 2

В данной работе было проведено моделирование взаимодействия вихревых колец с течением времени для различных углов их взаимного расположения и количества витков вихревых нитей. Рассматривалось только взаимодействие колец с одинаковым числом витков.