Тема работы: Исследование влияния спиральности на вихревую динамику в изотропной турбулентности (стр. 3 )

(16)

Анализ размерностей для в инерционном интервале затем приводит к описанному выше колмогоровым спектру:

(17)

Таким образом, рассматривая полный спектр энергии:

Рис. 1. Полный энергетический спектр (Rλ=500)

Наблюдаем, что инерционный интервал (рис. 1) имеет наклон -5/3, что соответствует колмогоровскому спектру.

Из рис. 2 видно, что с ростом числа Rλ (12) наблюдается увеличение инерционного интервала, что также подтверждалось неоднократными экспериментами [6].

Рис. 2. Спектр энергии в зависимости от Rλ

Из спектров можно сделать вывод, что большая часть энергии содержится в вихрях с масштабом длины l0/6 < l < 6l0.

Чтобы разрешить вопрос о масштабах диссипации энергии, стоит построить спектр ε:

(18)

Единица измерения , таким образом, данная величина может быть нормирована с помощью колмогоровского масштаба скорости.

Также известно, что в изотропном случае [7]. Взяв от данного выражения Фурье-преобразование, получим:. Можно сделать вывод, что также как и нормированная, нормированная будет зависеть только от Rλ.Из выражения для максимум спектра диссипации будет сдвинут в область более высоких частот, в отличие от энергетического спектра.

Сравнение с двумерным случаем

Двумерная задача о турбулентности является «упрощенной» в сравнении с трехмерным случаем, так как она является более доступной для ее теоретического и экспериментального анализа, а также требует меньше вычислительных мощностей для ее численного моделирования. Таким образом, двумерные задачи могут использоваться для проверки и развития общих соображений о турбулентности. Но в то же время, двумерная турбулентность имеет существенные различия с трехмерным случаем.

Взяв ротор от уравнения Навье-Стокса в двумерном случае получим уравнение на эволюцию завихренности:

(19)

Где завихренность определена, как . Если и , имеем - сохранение завихренности.

Двумерные течения обладают некоторыми интересными особенностями, одна из которых – сохранение энстрофии (среднего квадрата завихренности) в невязком случае. Сохранение энстрофии приводит к изменению вида энергетического спектра и появлению в нем интервала:

(20)

Рассматривая спектр энергии в двумерном случае:

Рис. 3. Энергетический спектр для двумерной задачи

Легко заметить, что в отличие от трехмерного случая, где на протяжении всего инерционного интервала наблюдается зависимость вида (17), здесь инерционный интервал имеет два участка за счет иного механизма передачи энергии, наблюдается два каскада, прямой каскад, переносящий энстрофию в сторону мелких масштабов, и обратный каскад, переносящий энергию в сторону крупных масштабов и приводящий к появлению в потоке крупных вихрей.

Специфические эффекты трехмерной изотропной турбулентности

Хотя и весь наш мир трехмерный, но иногда встречаются двумерные эффекты. Например, возникновение циклонов и других крупных атмосферных структур – замечательный пример обратного каскада, когда из мелкомасштабного турбулентного хаоса создаются упорядоченные крупные структуры. Также эффекты двумерности встречаются в течениях с твердотельным вращением, либо когда одно из направлений в потоке подавлено или гораздо меньше двух других.

Колмогоровский закон о переносе энергии на мелкие масштабы в некоторых случаях не срабатывает, как было показано для задачи с двумерной турбулентностью. Теперь следует рассмотреть отклонения от колмогоровского сценария в трехмерном случае. Для этого нужно ввести такие понятия, как растяжение вихрей, спиральность и поток энергии турбулентности через масштаб.

Можно рассмотреть эволюцию поля завихренности точно также как для поля скорости. Беря ротор от уравнения Навье-Стокса и домножая скалярно на завихренность получим уравнение баланса энстрофии:

(21)

Обратим внимание на первый член в правой части (23):

(22)

Данная величина называется растяжением вихрей и показывает образование (или гашение) энстрофии за счет вихревых взаимодействий. При положительном растяжении вихревые трубки увеличиваются в продольном направлении, и их радиус уменьшается, что соответствует переносу энергии к более мелким масштабам. При отрицательном, соответственно, наблюдается обратный эффект. То есть, растяжение происходит так, что объем вихревой трубки остается неизменным. Таким образом, в зависимости от знака растяжения вихрей изменяется градиенты скорости, а вместе с ними скорость диссипации. Стоит отметить, что в двумерных потоках L точно равно нулю.

Для того, чтобы определить в сторону какого масштаба происходит перенос энергии помимо растяжения вихрей можно использвоать выражение потока энергии через выделенный масштаб[8]:

(23)

Используя данный параметр мы можем определить направление и интенсивность спектрального потока энергии в каждой точке моделируемого пространства (для некого фиксированного масштаба K).

Основным в данной работе являлся параметр характерный только для трехмерных течений, называемый спиральностью:.

(24)

Спиральность является инвариантом для невязких течений и оказывает влияние на топологию вихрей. В литературе есть некоторые данные о влиянии спиральности на перенос энергии в изотропной турбулентности при использовании различных способов внесения спиральности в поток, но эти данные плохо согласуются друг с другом. Согласно этим результатам можно сделать только качественное предположение, что спиральность замедляет прямой каскад турбулентности, а как она конкретно влияет на растяжение вихрей – сказать нельзя. Поэтому можно с уверенностью назвать данную работу актуальной.

Численное моделирование

Моделируемые уравнения 

В работе моделировались нестационарные уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности:

	(25)
	(26)

где - поле скорости, - кинематическая вязкость, - сила накачки.

Расчетная область

Расчетной областью является куб с размерами и числом точек в трех измерениях. На каждой из границ расчетной области применялись периодические граничные условия.

Также были проведены расчеты на более мелкой сетке с числом точек для получения более точных результатов.

Особенности расчета 

Расчеты проводились двумя различными методами: метод конечных объемов (пакет OpenFOAM) и псевдоспектральный метод (hit3D, Chumakov, 2007).

Метод конечных объемов основан на разбиении расчетной области на фиксированные ячейки с общими границами. Его главным преимуществом является его универсальность: метод конечных объемов подходит для любой задачи – любых сеток, любой геометрии. Недостатками же является невысокий порядок аппроксимации (второй порядок точности) и небольшая скорость вычислений.