Тема работы: Исследование влияния спиральности на вихревую динамику в изотропной турбулентности (стр. 4 )

Псевдоспектральный метод основан на пространственном Фурье-преобразовании расчетных полей. Преимуществом метода является спектральная точность: порядок аппроксимации соответствует количеству точек в одной из осей, что дает очень точную аппроксимацию по пространству. Главный недостаток – это его неуниверсальность: псевдоспектральный метод подходит только для течений с периодическими гран условиями и равномерными сетками.

Главной задачей при подготовке расчета стояло задание силы, толкающей поток. В виду особенности моделируемого течения, задаваемая сила при осреднении по пространству должна давать нулевой результат, а также быть случайной по величине. Сила задавалась в узком диапазоне масштабов, для больших длин волн.

В расчете методом конечных объемов сила задавалась, как случайное поле с гауссовой статистикой после применения фильтра низких частот и проверки условия бездивергентности. Для получения временной корреляции использовалась линейная комбинация нового генерируемого поля и поля с прошлого шага по времени.

В расчете псевдоспектральным методом в качестве силы использовалось нормированное на фиксированную величину поле скорости с предыдущего шага после применения фильтра низких частот. Таким образом, автоматически выполняется условие бездивергентности, так как поле скорости является решением уравнений Навье-Стокса, а также коррелированности по времени, так как поле скорости эволюционирует во времени.

Но при подобном задании силы мы получаем нулевую среднюю спиральность, поэтому данный способ использовался для моделирования стандартной задачи об изотропной турбулентности. При переходе к спиральной турбулентности приходилось модифицировать силу для внесения спиральности в поток.

Для того, чтобы внести спиральность в поток, бралось поле силы, сгенерированное по одному из описанных выше алгоритмов, и получалась линейная комбинация следующего вида:

(27)

Добавление ротора приводило к сильной положительной спиральности силы накачки.

Результаты главы 1

В первой части работы были проведены расчеты изотропной и спиральной турбулентности на сетке 256 x256x256 точек для Re=100. При этом масштаб накачки соответствовал волновому числу 2.  Расчеты проводились до установления равновесного режима течения (около 20000 шагов по времени), когда статистические характеристики течения переставали меняться. Характерный вид поля завихренности представлен на рис.4.

В расчете были получены пространственные спектры энергии (рис. 5a) , а также спектр по времени (рис. 5с). Из графиков спектров видно, что в обоих случаях присутствует инерционный интервал, с наклоном -5/3, что соответствует ожидаемому виду для колмогоровского спектра трехмерной изотропной турбулентности с прямым каскадом энергии, при этом значительных отличий между спиральным и неспиральным случаем накачки не наблюдается. Спектры диссипации энергии (рис. 5b) имеют максимум в области высоких частот, когда вязкость начинает играть существенную роль в потоке. При этом некоторые отличия между спиральным и неспиральным случаем уже начинают проявляться, они заключаются в меньшей (в 2,5 раза) диссипации на крупных масштабах в первом случае. Структурные функции третьего порядка (пространственный аналог спектров) , рис 5d, в обоих случаях практически идентичны и хорошо соответствуют колмогоровской теории вплоть до масштабов порядка половины масштаба накачки. 

Рис. 4 Модуль завихренности, полученный в расчете изотропной турбулентности в данной работе.

Рис. 5 (а) спектр энергии турбулентности для спиральной и неспиральной накачки, (b) спектр диссипации для спиральной и неспиральной накачки, (с) спектр турбулентной энергии по времени для неспирального случая, (d) структурные функции третьего порядка для спирального и неспирального случая.

В то время, как основные энергетические характеристики потока не показывают значительных отличий в двух рассмотренных случаях, динамика спиральности существенно отличается.

Для того, чтобы получить спектральное распределение положительной и отрицательной компонент спиральности были проделаны следующие вычисления. Из спектра скорости путем прямого и обратного преобразования Фурье вырезалась узкая область, вокруг некоторого волнового числа k, после чего в физическом пространстве для полученного поля скорости строилось распределение спиральности, далее статистика положительной и отрицательной спиральности накапливалась отдельно, и записывалась в спектры под индексом k, после чего операция повторялась для другого волнового числа. Следует отметить, что нормировка как для положительной так и для отрицательной спиральности проводилась по полному числу точек в расчетной области. Полученные таким образом спектры приведены на рис.6a, b.

Из спектров видно, что в изотропном случае обе компоненты спиральности имеют практически одинаковое распределение по масштабам, с максимумом в области накачки и постепенным спадом с увеличением частоты. В спиральном случае ситуация кардинально меняется, положительная компонента спиральности становится в несколько раз выше отрицательной, при этом отрицательная компонента не имеет максимума в области частоты накачки, и растает с увеличением волнового числа из-за происходящих в потоке нелинейных процессов преобразования компонент спиральности. После максимума в районе k = 6, спиральность начинает спадать, аналогично тому, как это происходит в изотропном случае. При этом для высоких частот картина мало отличается от изотропного случая.

Эти же выводы подтверждаются и при рассмотрении функции плотности вероятности спиральности (рис. 6с). Для полноты картины функция плотности вероятности была построена отдельно для низких частот (до k=10), и для высоких частот (после k=10). Из результатов видно, что максимальная разница между амплитудами положительной и отрицательной спиральности заметна для низких частот, тогда как на высоких частотах гистограмма практически симметрична. Из функции плотности вероятности на низких частотах видно, что наиболее часто встречаются точки с небольшой положительной спиральностью, но и хвост распределения также имеет перекос в сторону положительной спиральности, что говорит о том, что точки с положительным знаком встречаются чаще для всех амплитуд спиральности.

Рис. 6 (a) спектры положительной и отрицательной спиральности для случая с классической накачкой, (b) спектры положительной и отрицательной спиральности для случая со спиральной накачкой, (с) PDF спиральности

Наиболее интересным в данной работе был вопрос о исследовании влияния спиральности на растяжение вихрей. Отрицательное растяжение вихрей это уникальное явление трехмерной турбулентности, которое может приводить к существенному влиянию на скорость диссипации энергии (ее замедлению) из-за происходящего при этом увеличения поперечных масштабов вихря и, соответственно, уменьшению локальных градиентов скорости.

Вначале, для проверки этого влияния было выполнено вычисление положительной и отрицательной компонент среднего растяжения вихрей. При этом среднее значение растяжения вихрей для изотропного и спирального случаев оказалась примерно одинаковым (и положительным, что соответствует доминированию прямого каскада энергии), но отношение положительной и отрицательной компонент растяжения  отличалось. В изотропном случае отношение амплитуд отрицательного растяжения к положительному, было равно 0.24, а в спиральном 0.3. То есть доля отрицательного растяжения существенно выросла.

Функция плотности вероятности растяжения вихрей (рис. 7) показывает, что в спиральном случае количество точек с положительным растяжением уменьшается по отношению к точкам с отрицательным растяжением. Особенно сильно это проявляется для явлений с большой амплитудой растяжения, их становится до двух раз меньше. 

Рис 7 Функция плотности вероятности растяжения вихрей

Далее рассмотрим то, как спиральность проявляется в мгновенных полях течения в физическом пространстве. При наблюдении за полем скорости (рис. 8(a)) в случае спиральной накачки часто наблюдаются локальный максимумы скорости, по типу уединенных пятен. Такие явления гораздо более редки и имеют меньшую амплитуду и масштаб в изотропном случае. Если посмотреть на Q-критерий идентификации вихрей (рис. 8(b)), видно, что в области максимума скорости находится крупный вихрь.

Рис 8 (a) поле модуля скорости и (b) Q-критерий идентификации вихрей

Если сопоставить данный вихрь с максимумом положительной спиральности на рисунке 9(a), то увидим, что область максимума спиральности соответствует ядру вихря. Таким образом, можно заключить, что спиральность, попадающая в поток на масштабах накачки концентрируется в таких вихрях.

Наблюдая за линиями тока данного уединенного вихря (рис.9(b)), можно увидеть, что жидкость втекает в него с одной стороны, при этом происходит как бы “конвергенция” то есть сужение площади течения с увеличением скорости, (наблюдаемом на рис 8а).  На выходе из вихря происходит наоборот “дивергенция” то есть расширение площади течения с уменьшением скорости. И именно спиральность с доминирующим знаком в потоке приводит к образованию таких крупномасштабных вихрей.

Рис 9 (a) распределение cпиральности в сечении расчетной области и (b) линии тока в данном вихре, максимум спиральности обозначен желтым

Такие вихри регулярно наблюдаются и являются долгоживущими в спиральной турбулентности, а появление их в случае с классической накачкой носит случайный характер и случается редко, их время жизни в этом случае также намного меньше, так как в потоке отсутствует выделенный знак спиральности.