Свойство 1

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Дано:  АВСD - трапеция,
АС и ВD - диагонали,
M - середина АС, 

N - середина BD

Доказать: MN = .

Доказательство:

KM – средняя линия треугольник ABC и равна.

KN – средняя линия треугольника ABD и равна . Тогда, MN= KN - KM следовательно, MN = - = .

Теорема доказана.

Свойство 2

Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший, из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований (длине средней линии трапеции).

Дано: АВСD - трапеция, ВС=a и АD=b

Доказать:  АТ =  , TD =

Доказательство.

Построим высоты ВТ и СК.

Рассмотрим ⊿ АВТ и ⊿ СКD. Так как  АВ=СD по условию, ∠А=∠D по свойству равнобедренной трапеции, то ⊿ АВТ= ⊿ СКD (по гипотенузе и острому углу).

Четырехугольник ТВСК -  прямоугольник, следовательно ВС = ТК = а. Тогда АТ = КD = =  .

TD = AD – AT = b -  = =  .

Теорема доказана.

Свойство 3

Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Дано: АВСD - трапеция, BD ∩AC=O,  ВС=a и АD=b

  Доказать: PO = OK,


Доказательство.

Рассмотрим подобные треугольники AOD и BOC ( они подобны по 1 признаку, так как ∠АОD= ∠ВОС как вертикальные и ∠САD= ∠ВСА как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АD и секущей АС. )

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Из подобия следует, что  .

Рассмотрим подобные треугольники AOP и ACB (они подобны по 1 признаку, так как  ∠ВАС - общий  и ∠АРО= ∠СВА как соответственные углы при параллельных прямых ВС и РО и секущей РВ).  Из подобия  следует, что .

Отсюда .

Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что . Отсюда и .

Теорема доказана.

Примечание

Многоугольники подобны, если:

1) равны все углы при соответственных вершинах

2) соответственные стороны пропорциональны

Свойство 4

Отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.

Дано: ABCD - трапеция

LBCF   ALFD, BC = a,

AD = b

Доказать:


Доказательство.

LBCF   ALFD (по условию),  тогда,   ,    (решим пропорцию)

,

Теорема доказана.

Свойство 5

Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

Дано: ABCD - трапеция,
AD и BD - диагонали

Доказать: BOCAOD, SABO=S COD

Доказательство.

Рассмотрим  BOC и  AOD

BOC = AOD  (как вертикальные углы)

CBO = ODA (как накрест лежащие углы, при параллельных прямых BC и  AD и секущей BD)

BOC AOD, отсюда 

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5