Рассмотри и 

Проведем высоту CH,  примем за основания треугольников отрезки  BO и OD, тогда , следовательно .

Аналогично и  имеют общую проведенную высоту BN, и основания CO и  OA, тогда и .

Следовательно

Теорема доказана

Свойство 6

Если в  равнобедренную трапецию вписана окружность, то ее боковая сторона равна  средней линии.

Дано: АВСD - равнобедренная трапеция, окружность, вписанная в трапецию, m - средняя линия.

Доказать: АВ = m

Доказательство:

Так  как в четырехугольник вписана окружность,

то AD + BC = AB + CD.

2AB =  AD + BC

AB=.

Теорема доказана.

Свойство 7

Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то длина высоты трапеции равна длине средней линии,  а площадь равна высоте в квадрате.

Дано: АВСD - трапеция, СD=AB,

ABCD

Доказать: ,


Доказательство.

BO=OC  (по свойству  равнобедренной трапеции), AO=OD.  Отсюда и равнобедренные.

Поскольку  AC BD, то OF= и OE=  BC следовательно, EF=OF+OE = AD+   BC= (AD+BC)

S=, т. к EF является средней линией и высотой.

Теорема доказана.

Свойство 8

Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Дано:

АВСD - равнобедренная трапеция,  вписанная окружность (О, ОК ) 

Доказать:∠СОD=

Доказательство.

Так как в трапецию вписана окружность, то  О - точка

пересечения биссектрис.  (  по свойству трапеции).

 

Тогда .

Отсюда 1800: 2 = 900.

Рассмотрим

.

= 1800 – ( . Отсюда  = 900.

Теорема доказана.

Свойство 9

Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота есть среднее геометрическое оснований.

Дано: ABCD - трапеция, AB=CD,  B AD,

AD=a, BC=b, BK=h.

Доказать: h=

Доказательство.

AB=   (по свойству №3) , AE= (по свойству №4  ) Рассмотрим  ABE,

  =  , .

Теорема доказана.

Свойство 10.

  В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции.

Дано: АВСD - трапеция, ВС=a и АD=b, АС-диагональ

Доказать:  АК=  .

Доказательство

Рассмотрим  равные треугольники АВТ и КСД (они равны по гипотенузе и катету: ВТ=СК, АВ=СД). Из равенства треугольников следует, что АТ=КВ= (АД-ВС): 2 = ( так как ВС=ТК = а).

Тогда АК=АD - DK = b - =  .

Теорема доказана.


Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5