Математическая статистика и теория вероятностей (стр. 2 )

Умение	Алгоритм
1. Вычисление вероятностей для числа наступлений события А в схеме Бернулли, если .	Обозначить событие А для одного испытания и определить вероятность события А. Обозначить событие и найти вероятность события . Определить число всех испытаний (n) и число испытаний, в которых событие А наступило (k). Исследовать значения Если , то для вычисления вероятности того, что событие наступит ровно k раз в n испытаниях, воспользоваться указанной формулой.
2. Вычисление вероятностей для числа наступлений события А в схеме Бернулли, если p мало и n велико, и :	Обозначить событие А для одного испытания и найти вероятность события А. Определить число всех испытаний (n) и число испытаний, в которых событие А наступило (k). Исследовать значения Если и n велико и , то для вычисления использовать указанную формулу. Для конкретных вычислений воспользоваться таблицей.
3. Вычисление вероятностей для числа наступлений события А в схеме Бернулли, если n велико и np>10:	Обозначить событие А для одного испытания и найти вероятность события А. Обозначить событие и найти вероятность события . Определить число всех испытаний (n) и число испытаний, в которых событие А наступило (k). Исследовать значения Если n велико и np>10, то см. пункт 5. Вычислить x и найти по таблице, причем в силу четности функции и для . Вычислить по указанной формуле.
4. Вычисление вероятности события с использованием предельной интегральной теоремы Муавра-Лапласа для последовательности независимых испытаний Бернулли	Обозначить события . Найти вероятности событий . Определить . Исследовать Если np>10, то см. пункт 5. Вычислить . Найти по таблице, учитывая, что и для Найти по указанной формуле.
5. Вычисление вероятности того, что событие произойдет не менее, чем k раз по формуле	Определить событие А в одном испытании и найти вероятность события А. Определить событие и его вероятность. Исследовать значения Если , то , а если n велико, p-мало и , то 4. Вычислить
6. Вычисление вероятности того, что событие А наступит хотя бы один раз в n испытаниях.	Обозначить событие А и найти его вероятность. Обозначить событие и найти его вероятность. Вычислить вероятность того, что событие наступит 0 раз. Вычислить указанную вероятность как .
7. Вычисление наивероятнейшего числа k0 наступления события А	Обозначить события . Найти вероятности событий . Определить n. Вычислить . Если целые числа, то . Если – дроби, то – целое число, заключенное между ними.
8. Вычисление вероятности того, что отклонение частоты от вероятности события по абсолютной величине не превышает положительного числа :	Обозначить события . Записать вероятность события А. Определить n. Найти вероятность события . Вычислить соответствующую вероятность по указанной формуле.
9. Оценить число испытаний в которых событие А произошло.	Выделить события . Определить вероятность событий . Выписать число наступлений события A: . Найти из формулы По таблице найти Вычислить . Из неравенства найти m.

Случайные величины

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины

Умение	Алгоритм
1. Составление закона распределения дискретной случайной величины	Выписать возможные значения случайной величины Х. Найти вероятности соответствующие возможным значениям а) б) в) Осуществить контроль
X	x1	x2	…	xn
Pk	p1	p2	…	pn
2. Построение многоугольника распределения дискретной случайной величины по ее ряду распределения	Начертить декартову систему координат. Построить точки с координатами . Полученные точки с координатами соединить отрезками прямых.
X	x1	x2	…	xn
Pk	p1	p2	…	pn

Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины и их свойства

Умение	Алгоритм
1  Найти и построить график интегральной функции распределения дискретной случайной величины	Обозначить случайную величину Х. 2 Составить закон распределения случайной величины Х
X	x1	x2	…	xn
Pk	p1	p2	…	pn
Если , то , событие является невозможным и .

. Если , то Если , то и т. д.
Если , то
1
…
p1 +p2 +p3
p1 +p2
p1
0	x1	x2	x3	x4	xn
2. Зная интегральную функцию распределения случайной величины найти	Найти значение интегральной функции в точке . Найти значение интегральной функции в точке . Найти разность значений интегральной функции в точках и : . .
3. Найти дифференциальную функцию распределения непрерывной случайной величины .	Найти производную функции . Записать дифференциальную функцию распределения.
4. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала , если известна интегральная функция распределения.	Найти производную функции . Вычислить определенный интеграл: .
5. Определение параметра с так, чтобы функция была дифференциальной функцией распределения случайно величины Х.	Вычислить интеграл . Из уравнения найти параметр с. Записать дифференциальную функцию распределения случайной величины Х.

Числовые характеристики случайных величин

Умение	Алгоритм
1. Нахождение математического ожидания дискретной случайной величины Х, принимающей конечное число возможных значений.	1. Обозначить случайную величину Х. 2. Составить закон распределения случайной величины Х:
X	x1	x2	…	xn
Pk	p1	p2	…	pn
3. Вычислить математическое ожидание Х по формуле:
2. Нахождение математического ожидания непрерывной случайной величины Х.	1. Обозначить случайную величину Х. 2. Выписать дифференциальную функцию распределения случайной величины Х. 3. Вычислить интеграл: 4. Записать :
3. Нахождение математического ожидания числа наступления события А в n независимых испытаниях.	1. Обозначить случайную величину Х. 2. Выписать число испытаний. 3. Определить вероятность наступления события А в одном испытании. 4. Найти по формуле .
4. Нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.	1. Обозначить случайную величину Х. 2. Составить таблицу распределения дискретной случайной величины Х:
X	x1	x2	…	xn
Pk	p1	p2	…	pn
3. Подсчитать : . 4. Подсчитать используя одну из формул: 5. Подсчитать среднее квадратическое отклонение по формуле .
5. Нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины Х.	1. Обозначить случайную величину Х. 2. Выписать дифференциальную функцию распределения случайной величины Х. 3. Вычислить : 4. Вычислить . 5. Вычислить : .
6. Нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения числа наступления события А в n независимых опытах.	1. Обозначить случайную величину Х. 2. Выписать количество проводимых испытаний. 3. Определить вероятность наступления события А в каждом опыте. 4. Найти : . 5. Найти : .

Умение	Алгоритм
1. Оценки вероятности с помощью неравенства Чебышева: а) а)	Обозначить случайную величину Х. Найти . Выписать . Записать событие, вероятность которого оценивается. Выбрать для оценки формулу 1 или 2. 6. Подставить значения в неравенство Чебышева.
2. Оценка , где –гипотеза события А, -вероятность события А.	Обозначить событие А. Выписать . Вычислить . Оценить .
3. Проверять применимость закона больших чисел к последовательности независимых случайных величин, если	1. Проверить попарную независимость случайных величин. 2. Найти математические ожидания случайных величин Хk, найти дисперсию Хk. 3. Проверить выполнимость требования конечности математического ожидания, равномерной ограниченности дисперсии. 4. Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены, то к последовательности применим закон больших чисел.

Статистическое распределение выборки