б) число 123 делится на 9 и на 3
в) при делении 42 на 5 в остатке получится 2 или 5.
г) 3 ? 7 д) 3 ? 7 е) если число 56 делится на 4, то оно делится на 3.
Сформулируйте отрицания следующих высказываний и установите истинность:А: «Число 123 делится на 9».
В: «При делении числа 32 на 5 в остатке получится 7».
С: «3 + 2 < 4».
Д: «Прямые АВ и СД не параллельны и не пересекаются».
Е: «Стороны четырехугольника АВСД не параллельны или не равны».
F: «Среди чисел есть такие, которые делятся на 5 и на 7».
Примечание:
1) Отрицание составных высказываний Д и Е можно сформулировать двумя способами: а) при помощи слова «неверно»; б) используя закон де Моргана при помощи частицы «не».
2) Чтобы отрицать высказывание F, содержащее квантор существования «есть», надо навешивать квантор общности и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.
8. Переформулируйте данные предложения так, чтобы они не содержали слов «неверно, что», но имели тот же смысл.
а) неверно, что число 9 – четное и простое.
б) неверно, что ? АВС – равнобедренный и прямоугольный
в) неверно, что каждый четырехугольник является прямоугольником.
Практические задания по теме « Предикаты»
. Х = {мн. учащихся ЯПУ-1}. На этом множестве заданы два предиката и составляют импликацию. А(х): «Уч. х ЯПУ-1 учится на 2 ШО А»
В(х): Уч. х ЯПУ-1 учится на ШО».
Множество истин. ТА(х)= {все уч. 2 ШО А}
Множество истин. ТВ(х)= {все уч. ШО} ТА(х) ТВ(х)
Х А(х)>В(х)
Т> = ТВ(х) U ТА(х) – вся заштрихованная пл.
Т> = Х – значит есть логическое следование, т. е. из А(х) логически следует В(х).
К этой импликации А(х)>В(х) навешиваем квантор общности х Х, то есть А(х)>В(х): «Если любой уч. х ЯПУ-1 учится во 2 ШО А, то он учится в ШО» - получилась истинная прямая теорема.
Образуйте из нее еще 7 теорем.
2. На мн. Х ={1,2,3 … 20} заданы два предиката А(х): «число Х делится на 10».
ТА(х) = {10,20}.
В(х): «Число Х делится на 5». ТВ(х) ={5,10,15,20}.
ТА(х) | ? | ТВ(х) |
Х
А(х)>В(х): «Если число : 10, то оно : 5». Докажем, что в этой импликации есть логическое следование, т. е. она истинна при всех элементах области определения Х.
1) Берем х из ТА(х), пусть х=10. А(10) >В(10): «Если число : 10, то оно : 5». Из «И» следует «И» - импликация истины.
2) Берем элемент х из кольца, пусть х=15.
А15 > В15: «Если число 15:10, то оно : 5». Из «Л» следует «И» - импликация истины.
3) Берем элемент, находящийся за кругами, пусть х = 7. А7 > В7: «Если число 7 : 10, то 7 : 5»
Из «Л» слеует «Л». Импликация истинна и т. д.
3. Импликацию А(х)>В(х), в которой есть логическое следование можно читать по-разному:
Прочтите предыдущую импликацию А(х)>В(х): «Если х : 10, то х : 5 в таких шести формах.
4. Дана импликация: «Если четырехугольник – квадрат, то он прямоугольник». Переформулируйте импликацию по-разному.
5. Теорема состоит из трех частей:
(А(х)>В(х)) - разъяснительная часть
- условие теоремы заключение теоремы заключение теоремы
Дана теорема: «Если во всяком ? углы при основании равны, то он равнобедренный. Укажите состав теорем, т. е. ее составные части.
6. Выделите условие и заключение теорем:
Если углы смежные, то их сумма равна 180? Диагонали ромба взаимно +. Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого. Равенство ? есть достаточное условие их равновеликости.В начальной школе синонимом слова «необходимо» является слово «нужно» (надо), а синонимом слова «достаточно» - «можно».
Практические задания по теме « Функции. Функциональные отношения»»
Даны мн. Х ={0,1,2,3,4,5} и У = Z. Между их элементами задано отношение:
хRy: «х – у = 3». Какая фигура из данных трех является графиком этого отношения?
Постройте графики отношений, обратных данным.
Даны мн. Х = {мн. зрителей в зале}
У = {мн. мест в зале} Между их элементами задано отношение хRy: «зритель х занял место у».
а) постройте графы хRy, когда оно будет функцией и не функцией, объясните.
б) образуйте уR-1х, хRy, уR-1х, покажите их на графах.
4. Даны множества А = {1,2,5} и В = {3,7}. Найдите А х В и В х А. Верно ли, что найденные множества а) равны, б) равномощны?
5. Даны множества Х = {9,12,11,4} и У = {2,3,5}. Дано отношение хRy : «х : у».
а) постройте график этого отношения
б) является ли это отношение функцией?
в) Сформулируйте обратное, противоположное и обратно противоположные отно
6. Какие из следующих формул задают на множестве R функцию:
а) у = 4х б) у = 4 в) х2 + у2 = 4
х
7. Функция f задана при помощи таблицы:
Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
У | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
а) Укажите ее область определения и область значений
б) Задайте функцию f при помощи формулы
в) Постройте график функции на координатной плоскости
г) Докажите, что функция f возрастает на всей области определения.
8. Постройте график функции у = 5 – х, если ее область определения Х такова:
а) х = {0,1,2,3,4,5}.
б) х = [0,5]
в) х = R
9.Постройте графики следующих функций при условии, что они заданы на R.
а) у = х б) у = 3 в) х = 5 г) у = 0
Практические задания по теме « Отношения между элементами двух множеств»
Даны мн. Х = {мн. пальто в вешалке}У = {мн. крючков в вешалке}
Отношение хRy: «Пальто х висит на крючке у». Запишите 8 объяснений, отвечающих на вопросы: 1) Когда это отношение будет функцией, не функцией?
2) Когда эта функция становится отображением, не отображением?
Когда это отображение будет отображением «в»? Когда это отображение станет отображением «на»? Когда отображение «в» становится отображением «просто в»? Когда отображение «в» становится отображением «инъекция»? Когда отображение «на» становится «суръекцией»? Когда отображение «на» будет «биекцией» ВОО? Ответить на предыдущие 8 вопросов для отношения хRy: «Зритель Х занял место У», если Х = {зрители в зале} У = {места в зале}. Какие из высказываний истинны:а) Если в отображении хRy: некоторым элементам из области значений соответствуют несколько элементов из области определения и В = У, то это отображение называется отображением «просто В».
б) Если в отношении хRy некоторым элементам из области определения соответствуют несколько элементов из области значений, то это отношение называется функцией.
в) Если в функции хRy А = Х и В У, и некоторым элементам из области значений соответствуют несколько элементов из А, то это отображение «просто В».
г) Если каждому элементу В соответствует единственный элемент из А и В У, А = Х, то эта функция называется «инъекцией».
д) Биекцией называется отображение «в», где каждому элементу из области значений соответствует единственный элемент из А.
е) Биекцией называется отображение «на», где некоторым элементам из В соответствуют несколько элементов А.
ж) Биекцией называется отображение «на», где каждому элементу из области значений соответствует единственный элемент из области определения и наоборот.
з) Если в отношении хRy, которое является функцией, где А = Х и В У на некоторых крючках висят по несколько пальто, Х = {мн. пальто}, У = {мн. крючков}, называется отображением «просто в».
Практические задания по теме « отношения между элементами одного множества»
На мн. Х = {множество прямых на плоскости} задано отношение хRy: «прямая х1у». Докажите, что отношение перпендикулярности не является отношением эквивалентности. В чем отличие свойств «антисимметричности» и «асимметричности». Приведите примеры. Х = {множество людей}. На этом множестве задано отношение хRy: «человек х тяжелее человека у». Докажите, что это отношение хRy является отношением порядка, причем линейного и строгого порядка. Какие свойства отношений показывают на графе «цикл», «петля»? Какими свойствами обладает отношение хRy, граф которого изображен на рисунке? Является ли это отношение рефлексивным? Транзитивным?
а•
в• с•
Какие из следующих утверждений истинны?а) хRy: «Число х больше у на 3» - асимметрично на множество натуральных чисел.
б) хSy: «Человек х выше человека у» - антисимметрично и транзитивно на мн. людей.
в) хPy: «Человек х выше человека у» - антисимметрично или транзитивно на мн. людей.
г) хМy: «Человек х выше человека у» - асимметрично и арефлексивно.
На мн. Х = {2,4,6,8,12} заданы отношения хRy: «х кратно у» и хPy: «х > у».
В чем их сходство и различие?
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
