Курсовая работа на тему Приближенные вычисления в математическом анализе (стр. 2 )

1.2. Отделить корни уравнения f(х) = 0 графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью то 0,001

№ варианта	f(х) = 0
(x – 1)2 = 0,5еx

Отделить корни уравнения (x – 1)2 = 0,5еx = 0 графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью до 0,001.

Решение:        Найдемприближенное значение корней графически. Построим графики функцииy1 = (x – 1)2 и y2 = 0,5еx.

Из графика видно, что уравнение имеет один корень, лежащий в промежутке [0; 0,5].

Чтобы уточнить корень методом простых итераций, приведем уравнение к виду x = ц(x).

Функцию ц(x) будем искать из соотношения , считая, что , где Q; число k имеет тот же знак, что и в промежутке [0; 0,5].

Находим

f(x) = (x – 1)2 – 0,5еx.

f(0) = (0 – 1)2 – 0,5е0 = 1 – 0,5 = 0,5;  f(0) > 0

f(0,5) = (0,5 – 1)2 – 0,5е0,5 = (-0,5)2 – 0,5 ∙ 1,65 = 0,25 – 0,825 = -0,575;
f(0,5) < 0

Корень уравнения принадлежит промежутку [0; 0,5].

f’(x) = 2(x – 1) – 0,5еx.

f’(0) = 2(0 – 1)2 – 0,5е0 = -2 – 0,5 = -2,5.

f’(0,5) = 2(0,5 – 1)2 – 0,5е0,5 = -1 – 0,5 ∙ 1,65 = -1,825.

Примемk = 2, тогда

За начальное приближение возьмем x0 = 0, все остальные приближения будем определять из равенства:

x0 = 0:

x1 = 0,25:

x2 = 0,2102:

x3 = 0,2136:

x4 = 0,2132:

x5 = 0,2134:

x6 = 0,2133:

x7 = 0,21335:

Точность вычисления можно оценить из соотношения

где о – точное значение корня, .

Вычисления удобно располагать в таблице:

n	xn	xn – 1	(xn – 1)2
0	0	-1	1	1	0,5	0,25
1	0,25	-0,75	0,5625	1,2841	0,6421	-0,0398
2	0,2102	-0,7898	0,6238	1,2339	0,6170	0,0034
3	0,2136	-0,7864	0,6184	1,2381	0,6191	-0,0004
4	0,2132	-0,7868	0,6191	1,2376	0,6188	0,00015
5	0,2134	-0,7866	0,6187	1,2379	0,6190	-0,00015
6	0,2133	-0,7867	0,6190	1,2378	0,6189	0,00005
7	0,21335

Ответ:о = 0,2133.

1.3.Используя метод Эйлера – Коши, составить таблицу приближенных значении интеграла дифференциального уравнения у'= f(x, y),удовлетворяющего начальному условиюy(0,2) = 0,25 на отрезке [0,2; 1,2] с шагом h = 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

№ варианта	у'= f(x, y)
у'= 0,145(x2+cos 0,5x) + 0,842у

Решение:

Используем формулу

Вычисления удобно располагать в таблице:

i	xi	уi	f (xi, уi)	k1	f (xi+1, уi+ k1)	k2	1/2 (k1 + k2)
0	0,2	0,25	0,3606	0,0361	0,4743	0,0474	0,0418
1	0,3	0,2918	0,4021	0,0402	0,4448	0,0445	0,0424
2	0,4	0,3342	0,4467	0,0447	0,4957	0,0496	0,0472
3	0,5	0,3814	0,4978	0,0498	0,5551	0,0555	0,0527
4	0,6	0,4341	0,5562	0,0556	0,6196	0,0620	0,0588
5	0,7	0,4929	0,6223	0,0622	0,6938	0,0694	0,0658
6	0,8	0,5587	0,6968	0,0697	0,7771	0,0777	0,0737
7	0,9	0,6324	0,7805	0,0781	0,8705	0,0871	0.0826
8	1,0	0,7150	0,8743	0,0874	0,9747	0,0975	0,0925
9	1,1	0,8075	0,9790	0,0979	1,0908	0,1091	0,1035
10	1,2	0,9110

y(x0) = y0;  f(x; y) =0,145(x2 + cos 0,5x) + 0,842y

y(0,2) = 0,25;

x0 = 0,2; y0 = 0,25,  h = 0,1.

i= 0:

.

y1 = 0,25 + 0,0418 = 0,2918.

i= 1:y1 = 0,2918,  x1 = 0,3

y2 = 0,2018 + 0,0424 = 0,3342,  y2 = 0,3342,  f(x; y) =0,145(x2 + cos 0,5x) + 0,842y

i= 2:

y3 = 0,3342 + 0,0472 = 0,3814. 

i= 3: y3 = 0,3814,  x3 =0,5