Курсовая работа на тему Приближенные вычисления в математическом анализе (стр. 1 )

ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ им. А. Ф.МОЖАЙСКОГО

Кафедра математики

Специальные главы математики

Курсовая работа

на тему

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

В МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Курсант _____группы _________________

  Руководитель: д. п.н., доц.

2018

Санкт-Петербург

Содержание

Введение ……………………………………………………………………….	3
1. Основная часть……………...………………………………………………	5
1.1.	Отделить корни уравнения f(х) = 0 графически и уточнить один из них методом хорд с точностью то 0,001 ……………………………	5
1.2.	Отделить корни уравнения f(х) = 0 графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью то 0,001 ……………..	9
1.3.	Используя метод Эйлера - Коши, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения у'= f(x, y), удовлетворяющего начальному условиюy(0,2) = 0,25 на отрезке [0,2; 1,2] с шагом h = 0,1 …………………………………………………	14
1.4.	Используя метод Рунге - Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения у' =f(x, y), удовлетворяющего начальному условию у(x0) = у0 на отрезке [0; 1] с шагом h = 0,1 …………………………………………………………...	22
Заключение …………………………………………………………………….	42
Литература ………………………..……………………………………………	43

Введение

Математический анализ(классический математический анализ) – совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

На классическом математическом анализе основываетсясовременный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду салгебройигеометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах.

Предшественниками математического анализа были античныйметод исчерпыванияиметод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение набесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманной. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегории Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создалНьютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май1684 года, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

В ходе выполнения курсовой работы были решены задания с применением различных методов:

- метод хорд;

- метод простой интеграции;

- метод Эйлера-Коши;

- метод Рунге – Кутта.

Метод хорд– итерационныйчисленный методприближённогонахождениякорняуравнения.

Метод простой итерации – один из простейшихчисленных методоврешенияуравнений. Метод основан на принципесжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичныйметод итерации.

Метод Эйлера-Кошиотносится к методам второго порядка и требует двукратного вычисления функцииf (x, y).

Методы Эйлера относятся к группе с общим названием метода Рунге-Кутта, к этой же группе принадлежит и метод, называемый методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Методы Рунге – Кутты(распространено неправильное названиеМетоды Рунге – Кутта) – важное семействочисленных алгоритмоврешенияобыкновенных дифференциальных уравненийи их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К.Рунге и .

Формально, методом Рунге–Кутты является модифицированный и исправленныйметод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

1. Основная часть

1.1. Отделить корни уравнения f(х) = 0 графически и уточнить один из них методом хорд с точностью то 0,001

№ варианта	f(х) = 0

Решение: Отделим        корень        графически.        Построим графики функций y1 = x и
, составив значения этих функций:

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4
у1= х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4
arctgx	0	0,2	0,38	0,54	0,67	0,79	0,88	0,95
	∞	5	2,63	1,85	1,49	1,27	1,14	1,05

Для построения графика функции у1 = х достаточно взять 2 точки, так как график этой функции – прямая, проходящая через 2 любые заданные точки, мы взяли точки (0; 0) и (0,2; 0,2).

Таким образом, положительный корень уравнения заключен в промежутке [1; 1,2].

Чтобы уточнить корень методом хорд, определим знаки функции
f(х) =   на концах промежутка [1; 1,2] и знак второй производной в этом промежутке:

f(1) < 0;  f(1,2) > 0.

;

так как  > 0 при , то кривая будет выпукла вниз, следовательно, расположена ниже своей хорды.

В нашем случае f(1) < 0; f(1,2) > 0, применяем рекуррентную формулу

В качестве x0 выберем левый конец отрезка [1; 1,2], а правый конец отрезка остается неподвижным.

И так, x0 = 1, b = 1,2.

f(x0) = f(1) = – 0,2732

f(b) = f(1,2) = – 0,0586

x1 = 1,1647,

x2 = 1,1623,

x3 = 1,16236;

точность вычисления можно оценить из соотношения

где о – точное значение корня, а .

Вычисления удобно располагать в таблице

n	xn	1,2 – xn	arctgxn		f(xn)	f(b) – f(xn)
0	1	0,2	0,7854	1,2732	– 0,2732	0,3318	0,1647
1	1,1647	0,0353	0,8613	1,1610	0,0037	0,0549	0,0024
2	1,1623	0,0377	0,8603	1,1624	– 0,001	0,0587	0,00006
3	1,16236

Ответ:о= 1,1623 – найденный корень уравнения с точностью до 0,001.