Примеры решения задач по электростатике (стр. 7 )

здесь φ1 – потенциал в т. 1, φ2 –потенциал в т. 2. Так как заряд q перемещается из бесконечности в т. 1, то потенциал φ2 = φ∞ = 0, и работа:

A = q ⋅ φ1.

Потенциал, создаваемый заряженной сферой в т. 1, определяется так же, как и для точечного заряда:

здесь Q – заряд на поверхности сферы, r' = R + r – расстояние от центра сферы до точки 1, т. е. как будто бы заряд располагается в центре сферы. Заряд Q на поверхности сферы найдём через поверхностную плотность заряда σ (это заряд, приходящийся на единицу поверхности):

Q = σSсф;  Sсф = 4πR2.

Таким образом:

Так как среда, окружающая сферу, не указана, то принимаем ε = 1. В результате получим, что работа по перемещению заряда равна:

= = 113 (мкДж).

Ответ: А = 113 мкДж

23. Протон с начальной скоростью 100 км/с влетел в однородное электрическое поле с напряженностью 300 В/см. Вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь должен пройти протон для удвоения его скорости? Заряд протона 1,6⋅10-19 Кл, масса протона 1,67⋅1027 кг. Ответ представьте в миллиметрах и округлите до десятых.

Дано:	Решение:
υ0 = 105 м/с Е = 3⋅104В/м υ = 2υ1 q = 1,6⋅10-19 Кл m = 1,67⋅1027 кг		На заряженную частицу в электрическом поле действует сила ,                        (1) действующая в направлении поля. Она придает этой частице ускорение
s = ?

.                                                (2)

путь, который пройдет протон для удвоения его скорости можно найти из формулы равноускоренного движения

s = .                                        (3)

Для нахождения ускорения используем формулы (1) и (2).

ma = qE.

Отсюда

а = .

Подставим полученное выражение для ускорения в формулу пройденного пути (3) и рассчитаем искомую величину.

s = = = 5,2⋅10-3 (м) = 5,2 (мм).        

Ответ: s = 5,2 мм

24. Два шарика с зарядами q1 и q2 имели вначале одинаковые по модулю и направлению скорости. После того, как на некоторое время было включено однородное электрическое поле, направление скорости 1-го шарика повернулось на 60°, а модуль скорости уменьшился вдвое. Направление скорости 2-го шарика повернулось на 90°. Во сколько раз изменилась скорость второго шарика? Определите модуль отношения заряда к массе 2-го шарика, если для 1-го он равен k1. Электрическим взаимодейст­вием шариков пренебречь.

Дано:	Решение:
q1, q2 υ0 υ1 ↓↑ υ0 α1 = 60° υ1 = υ0/2 υ2 ↓↑ υ0 α2 = 90°		После включения  электрического поля под действием силы изменились скорости, а значит и импульсы частиц. ⋅Δt = Δ, где = q.
υ0/υ2 = ? q2/m2 = ? k2 = ?	Первая частица. q1Е⋅Δt = mΔυ1. Поделим на q1:

Е⋅Δt = Δυ1 = .                                        (1)

изменение скорости Δυ1 найдем, используя теорему косинусов.

= = .                (2)

Для второй частицы

q2Е⋅Δt = mΔυ2.

Делим на q2:

Е⋅Δt = Δυ2 = .                                        (3)

Здесь изменение скорости Δυ2 найдем, используя теорему Пифагора:

Δυ2 = .                                                (4)

В уравнениях (1) и (3) приравняем правые части:

= .

Отсюда выразим k2.

k2 = k1.                                                 (5)

Из рисунка

υ2 = υ0tgβ,  то есть  = tgβ.                                (6)

.

По условию задачи υ1 = υ0/2 и из выражения (2) Δυ1 = , тогда

.

Отсюда

cosβ = =   и  β = 30°,  а  tgβ = .                (7)

В выражениях (6) и (7) приравняем тангенсы угла β:

= . 

Из полученного выражения найдем, во сколько раз изменилась скорость второго шарика υ2.

υ2 = ,

то есть скорость второго шарика уменьшилась в раз.

Для определения модуля отношения заряда к массе 2-го шарика k2 найдем Δυ2.

Δυ2 = = υ0.                                 (8)

Δυ1 из уравнения (2) и Δυ2 из уравнения (8) подставим в выражение (5).

k2 = k1= k1= k1.

Ответ: k2 = 4k1/3,

25. В тонкостенной непроводящей равноме­рно заряженной сфере радиуса r = 1 см имеются два небольших диаметрально противо­полож­ных отверстия. По прямой, соединяющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью х0 = 5000 м/с частица массой m с зарядом q (заряды сферы и частицы одноименные). Найдите время, в течение которого заряд будет находиться внутри сферы. Заряды и массы сферы и части­цы принять одинаковыми и равными m = 1 мг и q = 1 мкКл. Ответ представьте в микросекундах и округлите до десятых.

Дано:	Решение:
r = 10-2 м х0 = 5000 м/с m = 10-6 кг q = 10-6 Кл	Кинетическая энергия частицы при подлете к сфере равна Ек0 = = = 12,5 (Дж). Потенциальная энергия взаимодействия частицы и заряженной сферы:
k2 = ? υ2 = ?

Еп = qφ = q = = = 0,9 (Дж).

Такую энергию тратит частица на прохождение сферы. Тогда при вылете из сферы она будет обладать энергией ΔЕ, равной ее кинетической энергии Ек.

ΔЕ = Ек = Ек0 - Еп = 12,5 - 0,9 = 11,6 (Дж).

Из полученного выражения найдем скорость частицы при вылете из сферы.

υ = = = 4816,6 (м/с).

Зная начальную и конечную скорость частицы, можем найти ускорение, с которым она двигалась.

υ = υ0 – at.

a = = .

Пройденный путь (равный диаметру сферы, s = 2r) при равнозамедленном движении рассчитывается по формуле:

s = υ0t - ,

2r = υ0t - = t(υ0 - ).

Отсюда найдем время, в течение которого заряд будет находиться внутри сферы.

t = = 4,3⋅10-6 (c) = 4,3 (мкc).

Ответ: t = 4,3мкс