Лекция: «Арифметическая прогрессия» (стр. 3 )

Пусть d = k,  – d = b, тогда  = k n + b (аналогия y(x) = k x + b).  Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида = kn + b, где k и b – некоторые числа (то есть арифметическая прогрессия задается линейной функцией).  Верно и обратное: последовательность, заданная формулой вида = kn + b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.          - = k(n + 1) + b – (k n + b) = k n + k +b – k n – b = k = d.  Пример.  Является ли последовательность  () – арифметической прогрессией, если она задана формулой: а) = 7- 3n;  б) = 2 + 1;  в) = 0,8n; г) = 0,64n +23;  д)  =  ;  е) = .  Ответ: а), в), г), е).  Из определения арифметической прогрессии вытекают следующие свойства:         1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен, предыдущему, сложенному с разностью d, = + d.         2) Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое двух равноудаленных от него членов этой прогрессии         k, m – любые натуральные числа, причем k m                  =         =  + (k – 1)d         3)  Для любой конечной арифметической прогрессии сумма двух членов, равноотстоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная сумме крайних членов          + =  + , где k; m; r; s – номера членов, удовлетворяющих условию k + m = r +s  Пример.  Дана арифметическая прогрессия  3; 7; 11; 15; 19; 23.                                                            Назвать крайние члены ( и  ) и равноотстоящие  от ее концов ( и ;  )         7 + 19 = 3 + 23;  11 + 15 = 3 + 23;  1 + 6 = 2 +5;  1 +6 = 3 +4;          26 = 26.                         26 = 26.                         7 = 7.         7 = 7.         Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работы, дал детям задание: вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, но маленький Гаусс это задание выполнил почти моментально.                                 Задача очень не проста;                                 Как сделать, чтобы быстро                                 сложить в уме все числа?                                 Пять первых связок изучи,                                 найдешь к решению ключи                                 1 + 100 =?;  2 + 99 =?;  3 + 98 =?;                                 4 + 97 =?;  5 + 96 =?                                 Давным – давно один мудрец                                 Сказал,                          Что прежде надо связать начало