Примеры решения задач динамика и законы сохранения в механике (стр. 2 )

А, следовательно, он приобретает кинетическую энергию W1.

.

Конькобежец движется вверх по горке равнозамедленно и, пройдя расстояние s, останавливается. Т. е. на горке его кинетическая энергия равна нулю. Но зато он поднялся на высоту h и здесь он обладает потенциальной энергией W2, т. е. кинетическая энергия конькобежца перешла в его потенциальную энергию.

W2 = W1.  W2 = m1gh. 

Энергия конькобежца изменилась, значит, была совершена работа

A = W2 – W1 = m1gh -                                        (2)

С другой стороны, работы по преодолению сил трения

  A = Fтр ⋅ s ⋅ cos 180° = –Fтр ⋅ s,                                (3)

где

h = s sinα,  Fтр = μ ⋅ N = μm1g cosα. 

Приравняв правые части выражений (2) и (3), получим:

                                       (4)

Учитывая, что скорость конькобежца (1), уравнение (4) примет вид:

  или

.

Сделаем некоторые математические преобразования.

.

.

Отсюда выразим расстояние, на которое  поднимется вдоль горки конькобежец

  (м)

Ответ: s = 1 м

5. На внутренней поверхности сферы радиусом 0,1 м, вращающейся вокруг вертикальной оси, находится небольшой предмет. С какой постоянной частотой должна вращаться сфера, чтобы предмет находился в точке, направление на которую составляет угол 45°? Коэф­фициент трения между предметом и поверх­ностью сферы равен 0,2. Округлите до сотых. Принять g = 10 м/c2.

Дано:	Решение:
R = 0,1 м φ = 45° μ = 0,2 g = 10 м/с2	Сделаем рисунок. Расставим силы, которые действуют на предмет, находящийся внутри сферы. Запишем для этого предмета основное уравнение динамики в векторной форме, а потом в проекциях на оси х и у: .
ν = ?

(sinφ = cosφ , т. к. φ = 45°)

0x: N sinφ - Fтр sinφ = mац;                                        (1) 

0y: N sinφ + Fтр sinφ = mg.                                        (2)

Так как

ац = ω2 r,  Fтр = μN  и  r = R sinφ,

уравнения (1) и (2) запишем в виде:

mω2r = sinφ (N - μN)

mg = sinφ (N + μN).

Или

mω2 R sinφ = sinφ N (1 - μ)

mg = sinφ N (1 + μ).

Поделим одно уравнение на другое, получим:

;  ⇒

;  ω ≈ 9,7.

ω = 2πν  ⇒  (c-1).

Ответ:  ν = 1,55 c-1

6. На сколько следует приподнять наружный рельс по отношению к внутреннему на закруглении пути при скорости движения поезда 54 км/ч и радиусе кривизны 300 м? Ширина пути 1,524 м. Принять g = 10 м/c2. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до десятых.

Дано:	Решение:
υ = 54 м/ч = 15 м/с R = 300 м l = 1,524 м g = 10 м/с2		Рекомендуется сделать рисунок. Далее нужно расставить силы, действующие на вагон и записать уравнение динамики в векторной форме:         (1) Затем выберем направление
h(см) = ?

осей координат и запишем уравнение (1) в проекциях на оси х и у:

ох: maцс = Nsinα, 

оy: mg = Ncosα.

Поделим первое уравнение на второе:

.

С другой стороны:

.

Тогда

.

Выразим угол α через заданные параметры.

.

Для малых углов sinα = tgα. Тогда   ⇒

(м) = 11,4 (см).

Ответ: h = 11,4 см

7. Через невесомый блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы массами 1 кг и 2 кг. На второй из грузов положен перегрузок массой 0,5 кг. С какой силой будет действовать этот перегрузок на тело, на котором он лежит, если вся система придет в движение? Принять g = 9,8 м/с2.

Дано:	Решение:
m1 = 1 кг m2 = 2 кг m3 = 0,5 кг g = 9,8 м/с2		Выполним рисунок, расставим силы, действующие на каждое тело. Для каждого тела запишем свое уравнение динамики в векторной форме, а затем в скалярной. .
Fд = ?

Все силы направлены по одной прямой, следовательно, достаточно взять проекции этих сил только на одну ось – ось у.

оy: m1a = Т – m1g,                                                (1)

  m2a = m2g –Т + Fд,                                        (2)

  m3a = m3g – N.                                                (3)

По третьему закону Ньютона . Тогда, уравнение (3) для перегрузка перепишем в виде:

  m3a = m3g – Fд.                                        (4)

решая совместно уравнения (1), (2) и (4), найдем силу, с которой  перегрузок m3 будет действовать на тело m2, на котором он лежит. 

Т = m1a + m1g  ⇒

. 

; 

; 

(Н).

Ответ: Fд = 2,8 Н

8. К грузу массой 7 кг подвешен на веревке груз массой 5 кг. Определите модуль силы натяжения середины веревки, если всю систему поднимать верти­кально с силой 240 Н, приложенной к большему грузу. Веревка однородна и ее масса равна 4 кг. Принять g = 10 м/с2.

Дано:	Решение:
m1 = 7 кг m2 = 5 кг  F = 240 Н m3 = 4 кг  g = 10 м/с2		Чтобы при решении задачи учесть массу веревки и найти силу натяжения ее середины, разобьем всю систему на две части: одну половину массы веревки отнесем к верхней части, вторую – к нижней: m′ = m1 + = 7 + 2 = 9 (кг) и
Т = ?

m′′ = m2 + = 5 + 2 = 7 (кг).

Теперь у нас есть два тела, соединенные невесомой веревкой. Расставим силы и запишем уравнение динамики для каждого тела: