Примеры решения задач динамика и законы сохранения в механике (стр. 3 )

Запишем эти уравнения в проекциях на ость у:

m′а = F – m′g – T                                                (1) 

m′′а = Т – m′′g.                                                (2)

Выразим ускорение из второго уравнения и подставим в первое.

.

.

Сделав некоторые математические преобразования и подставив численные значения, определим модуль силы натяжения середины веревки. 

.

  ⇒  .

  ⇒ 

(Н).

Ответ: Т = 105 Н

9. Орудие, имеющее массу ствола 500 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда 5 кг, его начальная скорость 460 м/с. После выстрела ствол откатывается на 40 см. Определите среднее значение силы торможения, возникающей в противооткатном устройстве. Ответ представьте в килоньютонах и округлите до десятых.

Дано:	Решение:
m1 = 500 кг m2 = 5 кг  υ0 = 460 м/с s = 40 см = 0,4 м		Для системы «орудие – снаряд» запишем закон сохранения импульса 0 = . Проекция на ось х: 0 = - m1υ1 + m2υ0   ⇒  m1υ1 = m2υ0.
Fт = ?

Из полученного выражения найдем скорость υ1, которую приобретает орудие при отдаче.

. 

Зная расстояние, на которое откатывается орудие, найдем его ускорение:

  ⇒  ;

Среднее значение силы торможения, возникающей в противооткатном устройстве, найдем по второму закону Ньютона.

Fт = m1a = (Н) = 13,2 (кН).

Ответ: Fт = 13,2 кН

10. Тело массой 8 кг начинает с трением скользить с вершины наклонной плоскости высотой 4,9 м с углом наклона 60­°. У основания наклонной плоскости стоит тележка с песком массой 90 кг. С какой скоростью начинает двигаться тележка, когда тело упадет на нее? Коэффициент трения 0,1. Ускорение свободного падения 10 м/с2. Округлите до десятых.

Дано:	Решение:
υ0 = 0 m1 = 8 кг h = 4,9 м α = 60­° m2 = 90 кг μ = 0,1 g = 10 м/с2		Выполним рисунок. Из него определим длину наклонной плоскости l:   ⇒  (м).
υ2 = ?

  ⇒  .                                (1) 

Следовательно, для того, чтобы определить скорость, которую приобретает тело у основания наклонной плоскости, необходимо найти его ускорение a. Для этого расставим силы, действующие на тело, и запишем для него уравнение динамики: 

.

Выберем оси координат и запишем это уравнение в проекциях на оси:

ох:  m1a = m1gsinα - Fтр                                        (2) 

оу:  N = m1gcosα.                                                (3)

Запишем уравнение для силы трения.

Fтр = μN = μm1gcosα.                                        (4)

Решая совместно уравнения (2), (3) и (4), найдем ускорение тела: 

= = g(sinα - μcosα) . 

a = 10(sin60 - μcos60) ≈ 8,2 (м/с2).

Подставим это значение в формулу (1) 

(м/с).

Чтобы найти скорость υ2, с которой начинает двигаться тележка, запишем закон сохранения импульса:

или в скалярной форме:

m1υ1cosα = (m1 + m2) υ2 

⇒  (м/с).

Ответ: υ = 0,4 м/с

11. Два тела, массы которых одинаковы, движутся навстречу друг другу, при этом скорость одного тела в 2 раза больше скорости второго. Какая часть механической энергии системы перейдет во внутреннюю энергию при центральном абсолютно неупругом ударе?

Дано:	Решение:
m1 = m2 = m υ1 = 2υ2		В задаче задается центральный абсолютно неупругий удар. Запишем для него закон сохранения импульса и закон сохранения энергии и после
= ?

некоторых математических преобразований найдем, какая часть механической энергии системы перейдет во внутреннюю энергию.

; 

.

Ответ:

12. Пуля ударяет со скоростью 400 м/с в центр шара, подвешенного на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определите косинус угла, на который отклоняется нить, если масса пули 20 г, масса шара 5 кг. Принять g = 10 м/с2. Ответ округлите до сотых.

Дано:	Решение:
υ1 = 400 м/с l = 4 м m1 = 0,02 кг m2 = 5 кг g = 10 м/с2		Рассматривая систему «пуля – шар» запишем закон сохранения импульса:   ⇒ .
cos α = ?

Для системы «шар с пулей в нижнем положении и в верхнем» запишем закон сохранения энергии:

  или  .

Тогда

.

Косинус угла α найдем из рисунка, из треугольника 1-2-3:

cosα = .

Ответ: cosα =0,97

13. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров шар большей массы до удара покоился. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Во сколько раз масса одного шара больше массы второго шара?

Дано:	Решение:
υ1 υ2 = 0 ΔЕ = Е	запишем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для двух соударяющихся абсолютно упругих шаров:
= ?

;