Примеры решения задач динамика и законы сохранения в механике (стр. 1 )

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

динамика и законы сохранения в механике

1. Футбольный мяч при движении в воздухе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч двигался в воздухе горизонтально со скоростью υ1 = 20 м/с и ускорением а1 = 13 м/с2. после удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью υ2 = 10 м/с. Каково ускорение а2 мяча сразу после удара? округлите до целого числа.

Дано:	Решение:
Fc = kυ2 υ1 = 20 м/с а1 = 13 м/с2 υ2 = 10 м/с
а2 = ?

Рассмотрим вначале движение мяча в горизонтальном направлении. Расставим силы, которые действуют на мяч в этом случае. Выполним рисунок. Из рисунка видно, что силу F = ma можно найти по теореме Пифагора.

.

.

Из полученного уравнения выразим коэффициент пропорциональности k:

.

Теперь рассмотрим движение мяча после удара. по условию задачи он полетел вертикально вверх. Сделаем рисунок, расставим силы и запишем уравнение динамики.

.

Выразим отсюда ускорение а2:

.

Подставим полученное выражение для k:

.

(м/с2).

Ответ: а2 = 12 м/с2.

2. С какой наименьшей скоростью следует бросить с уровня Земли камень, чтобы он смог перелететь через вертикальную стену высотой 20 м и шириной 10 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 м/с2. Округлите до десятых.

Дано:	Решение:
h = 20 м d = 10 м g = 10 м/с2		Начальная скорость υ0 должна быть минимальной, но достаточной, чтобы преодолеть ширину стены d. d = υ1x⋅t2 = υ1cosα2⋅t2,                (1) где t2 – время, за которое камень перелетит через стену.
υ0min = ?

Максимальная высота, на которую поднимется камень над стеной:

  или  .

Приравняем правые части этих уравнений и выразим время t2 

= ,

.                                                (2)

Выражение (2) для времени t2 подставим в формулу (1)

.

Расстояние d будет максимальным при угле α = 45°. Тогда sin 2α = 1 и

.

Подставим численные значения:

= 10 (м/с).

Запишем закон сохранения энергии камня для двух его положений (в точках 1 и 2):

.

Обе части уравнения поделим на :

  ⇒ 

(м/с).

Ответ: υ0 = 22,4 м/с.

3. Работа, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом 15° к горизонту, равна 800 Дж. Масса ядра 8 кг. На каком расстоянии от места бросания ядро упадет на Землю? Принять g = 10 м/с2.

Дано:	Решение:
α = 15° А = 800 Дж m = 8 кг g = 10 м/с2	Работа, затраченная на толкание ядра, равна изменению его кинетической энергии.                                                                (1) Траектория движения ядра, брошенного под углом к горизонту, парабола. Следовательно, ядро движется в двух направлениях:
s = ?

по вертикали и по горизонтали. Движение по горизонтали равномерное с постоянной скоростью υ0x. Тогда расстояние, на котором упадет ядро

s = υ0xt = υ0⋅cos α⋅t                                        (2)

Т. е., чтобы найти s, нужно знать начальную скорость ядраυ0 и время его движения t. Скорость можно определить из уравнения (1):

                                               (3)

Рассмотрим движение по вертикали. Ядро поднимается вверх равнозамедленно. Уравнение скорости при этом будет выглядеть так:

                                       (4),

где  , т. к. t – время, затраченное на прохождение всего пути s, а t1 – время, которое ядро затрачивает для достижения вершины параболы. Вектор скорости в этой точке направлен горизонтально, следовательно, его проекция на ось у равна нулю: υy = 0. 

Тогда уравнение (4) запишем в виде:

                                                       (5)

Но υ0у можно выразить через υ0 и угол α:

υ0у = υ0 sin α                                                 (6)

Приравнивая правые части  уравнений (4) и (5), найдем время t:

.  ⇒                         (7)

Подставим выражения (3) и (7) в (2), найдем расстояние от места бросания ядра до точки его падения на Землю:

s = υ0⋅cos α⋅t = cos α⋅= = .

Подставим численные значения:

(м).

Ответ: s = 10 м

4. Конькобежец массой 45 кг, находящийся в начале ледяной горки с углом наклона 10°, бросает в горизонтальном, противоположном от горки направлении, камень массой 5 кг со скоростью 18 м/с. На какое расстояние вдоль горки поднимется конькобежец, если известно, что коэффициент трения лезвий коньков о лед равен 0,02? Принять g = 10 м/с2. Ответ округлите до целого числа.

Дано:	Решение:
m1 = 45 кг α = 10° m 2 = 5 кг υ = 18 м/с μ = 0,02		Для системы «конькобежец - камень» запишем закон сохранения импульса: - в векторной форме и 0 = m1υ1cos α – m2υ2 – в
s = ?

скалярной форме (с учетом направления скоростей). Отсюда можно определить скорость, которую приобретает конькобежец

                                                       (1)