Примеры решения задач динамика и законы сохранения в механике (стр. 4 )

.

Проведем некоторые математические преобразования: 

. 

Поделим одно уравнение на другое:

.

Полученную скорость u2 подставим в закон сохранения импульса:

m1υ1 = m2υ1 – m2u1 - m1u1;  u1(m2 + m1) = υ1( m2 - m1);

.

Так как частица отдает ѕ своей энергии, то у нее остается ј этой энергии, то есть:

  или  . 

Поделим обе части полученного уравнения на , получим:

.  ; 

Ответ:

14. Человек, сидящий в лодке, бросает камень вдоль нее под углом 45° к горизонту. Масса камня 10 кг, масса человека и лодки 100 кг, начальная ско­рость камня относительно берега 10 м/с. Найдите расстояние между точкой падения камня и лодкой в момент, когда камень коснется воды. Считать, что во время полета камня, лодка движется равномерно. Принять g = 10 м/с2.

Дано:	Решение:
α = 45° m1 = 10 кг m2 = 100 кг υ0 = 10 м/с g = 10 м/с2
х = ?

Рекомендуется выполнить рисунок, указать траекторию движения камня и направление векторов скоростей камня и лодки.

x = s + l.

закон сохранения импульса:

0 = m1υ0cosα - m2υ1;  m1υ0 cosα = m2υ1;

s = υ0cosα t

За то же самое время лодка со скоростью υ1 переместится на расстояние l противоположную сторону:

l = υ1 t.

x = t (υ0cosα + υ1) = t (υ0cosα + ) = υ0cosα t(1 + ).        (1)

  или  .

Приравняем правые части:

.

Из этого выражения выразим время t:

.                                        (2)

Подставляем (2) в (1):

x = υ0cosα (1 + ) = .

x = (м)

Ответ: x = 11 м

15. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой 1 кг, прикрепленный к пружине жест­костью 25 Н/м. В шар попадает пуля массой 10 г, имеющая в момент удара скорость 10 м/с. Считая удар абсолютно упругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить макси­мальное смещение шара. Ответ округлите до сотых.

Дано:	Решение:
m1 = 1 кг k = 25 Н/м m2 = 10 г = 10-2кг υ0 = 10 м/с	1) Для системы «пуля – шар» запишем закон сохранения импульса (удар абсолютно упругий): .
х = ?

В скалярной форме:

m2υ0 = - m2υ1 + m1υ2.                                        (1)

Закон сохранения энергии:

.

                                       (2)

Уравнение (1) и (2) решаем совместно.

m2(υ0 + υ1) = m1υ2.

Поделим одно уравнение на другое, получим:

υ0 - υ1 = υ2.  ⇒  υ1 = υ0 - υ2 . 

Скорость υ2 подставим в уравнение (1):

m2υ0 = - m2υ0 + m2υ2 + m1υ2.

2m2υ0 = ( m1 + m2)υ2.

.

2) Для системы «шар в положении 1 и в положении 2» запишем закон сохранения энергии:

  ⇒  .

Тогда

= = = 0,04 (м).

Ответ: x = 0,04 м

16. Пуля массы 10 г, летевшая с начальной скоростью 400 м/с, проби­вает один подвешенный груз массы 10 г и застревает во втором подвешен­ном грузе той же массы. Пренебрегая временем взаимодействия пули с грузом и потерей энергии пули в пространстве между грузами, найдите количество теплоты, выделившееся в первом грузе, если во втором выделилось 100 Дж.

Дано:	Решение:
m1 = m2 = m3 = 0,01 кг υ0 = 400 м/с Q2 = 100 Дж		1) Запишем закон сохранения импульса для пули и первого шара: - в векторной форме.
Q1 = ?

И в скалярной форме:

mυ0 = mυ1 + mυ2

или

υ0 = υ1 + υ2 ⇒ υ1 = υ0 - υ2.

Закон сохранения энергии для первого случая:

,

где Q1 - количество теплоты, выделившееся в первом грузе. Сделаем некоторые математические преобразования и выразим количество теплоты Q1.

,

.

.

.

,                                        (1)

т. е. для нахождения Q1 необходимо знать скорость пули υ2 после прохождения второго шара.

2) Чтобы найти скорость υ2 запишем законы сохранения импульса и энергии для второго и третьего грузов:

Закон сохранения импульса с учетом направления скоростей:

mυ2 = 2mυ3   ⇒  υ3 = υ2/2.

Закон сохранения энергии с учетом выделившейся теплоты q2:

  ⇒    ⇒

  ⇒    ⇒ 

.                                                        (2)

Подставив выражение (2) для скорости υ2 в формулу (1) найдем количество теплоты, выделившееся в первом грузе Q1

,