Статика (стр. 3 )

Учитывая малость углов наклона, несколько упростим формулы: sinб1 ≈ б1 , sinб2 ≈ б2 , cosб1 ≈ 1, cosб2 ≈ 1, тогда F1 = mg(б1 + м) и F2 = mg(б2 + м).

Подставляем выражения для F1 и F2 в уравнения (1) и (2):

N = V1 mg(б1 + м) (4) и N = V2 mg(б2 + м) (5).

Решаем полученную систему уравнений:

V1 mg(б1 + м) = V2 mg(б2 + м),

преобразуем уравнение: м(V2 - V1) = V1 б1 - V2 б2 , откуда

Задача № 2-16

Тело массой m = 1 кг движется по столу, имея в начальной точке скорость Vо = 2 м/с. Достигнув края стола, высота которого h = 1 м, тело падает. Коэффициент трения тела о столм = 0.1. Определить количество теплоты Q, выделившееся при неупругом ударе о землю. Путь, пройденный телом по столу S = 2м.

Дано: m = 1 кг, Vо = 2 м/с, h = 1 м, м = 0,1, S = 2м. Определить Q - ?

Когда тело упадет со стола на землю, то при неупругом ударе вся кинетическая энергия тела К2перейдет в тепло : К2 = Q. Следовательно, нам надо определить кинетическую энергию тела в момент удара о землю. Для этого воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии тела:

К2 – К1 = ∑Аi, откуда К2 = К1 + ∑Аi (1) .

Кинетическая энергия тела в начальной точке пути К1 = mVoІ/2. Сумма работ внешних сил, действующих на тело ∑Аi = Атр + Ат, где Атр = - Fтр·S = - мmgS – работа силы трения на пути S, Ат = mgh – работа силы тяжести при падении тела с высоты h.

Подставим все в уравнение (1):

К2 = mVoІ/2 + mgh – мmgS = 5,3 Дж. => Q =5,3 Дж.

Законы сохраненияР Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 1 ЕГЭ

Задача № 1-3

Груз массой m = 0,1 кг привязали к нити длиной L = 1 м. Нить с грузом отвели от вертикали на угол б = 90о и отпустили. Каково центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол в = 60о? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: m = 0,1 кг, L = 1 м, б = 90о, в = 60о. Определить ац - ?

Рис. 1.

Вспоминаем формулу центростремительного ускорения aц = VІ/R. Здесь V - скорость груза в точке 2, R – радиус окружности, по которой перемещается груз. В данной задаче R = L. Чтобы найти скорость груза в точке 2. воспользуемся законом сохранения энергии: для любой точки траектории движения груза сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна:

Ек + Еп = Е, где Е - полная энергия груза.

Пусть в точке 3 потенциальная энергия груза Еп3 = 0, тогда кинетическая энергия груза в этой точке Ек3 = Е. В точке 1 потенциальная энергия груза Еп1 = mgL = Е, а его кинетическая энергияЕк1 = 0. В точке 2 траектории получаем, что сумма Ек2 + Еп2 = Е = mgL (1).

Преобразуем уравнение (1): Ек2 = Е - Еп2 (2). Учитывая обозначения на рис. 1 перепишем уравнение (2) в виде:

mVІ/2 = mgL – mgh, откуда VІ = 2g(L – h) (3).

Из рисунка получаем h = L - L·cosв = L/2. Подставим в (3): VІ = 2g(L – h) = gL.

Тогда центростремительное ускорение груза в точке 2 будет aц = VІ/L = g.

Задача № 1-19

Два груза, массы которых относятся как 1:4, соединены сжатой пружиной и лежат на горизонтальной поверхности стола. При распрямлении пружины груз меньшей массы получает кинетическую энергию К1 = 40 Дж. Найти потенциальную энергию сжатой пружины. Трение не учитывать.

Дано: m1/m2 = ј, К1 = 40 Дж. Определить П - ?

По условию задачи грузы и пружина образуют замкнутую систему, в которой выполняется закон сохранения механической энергии: потенциальная энергия сжатой пружины П переходит в кинетическую энергию К1 и К2 двух грузов: П = К1 + К2. Наша задача определить кинетическую энергию К2 второго груза.

Воспользуемся законом сохранения импульса. Когда пружина была сжата, суммарный импульс шаров равнялся нулю р = 0. После распрямления пружины грузы приобрели импульсы р1= m1V1 и р2 = m2V2, соответственно.

Запишем закон сохранения импульса для грузов: р = р1 + р2. Спроецируем это уравнение на горизонтальную ось:

0 = m1V1 - m2V2, откуда V2 = m1V1/m2.

Запишем формулу кинетической энергии второго груза

Откуда потенциальная энергия сжатой пружины равна

П = К1 + К2 = К1 + ј К1 = 50 Дж.

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ

Задача № 2-1

Тело массы m1, движущееся со скоростью V, налетает на покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него под углом б = 90о к первоначальному направлению своего движения со скоростью V/2. Определить массу второго тела.

Дано: m1, V, б = 90о, U1 = V/2. Определить m2 - ?

Рис. 1.

Данная задача рассматривает абсолютно упругий удар двух тел, решать которую будем применяя два закона сохранения: первый - закон сохранения импульса

m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2U2 (1),

где V1 = V и V2 = 0, скорости до соударения первого и второго тел, соответственно. U1 = V/2 и U2 - скорости первого и второго тел после соударения.

И второй закон: закон сохранения механической энергии, который запишем с учетом обозначения скоростей тел:

m1VІ/2 = m1VІ/8 + m2U2І/2 (2).

Спроецируем уравнение (1) на оси выбранной системы координат:

ОХ: m1V = m2U2Х (3), OY: 0 = m2U2Y - m1V/2 (4).

Выразим из (3) и (4) компоненты вектора U2: U2Х = m1V/ m2 и U2Y = m1V/2m2. Возведем компоненты в квадрат и сложим

U2І = (U2X)І + (U2Y)І =(m1V/m2)І + (m1V/2m2.)І = 5m12VІ/4m22.

Подставим выражение для U2І в (2)

m1VІ/2 = m1VІ/8 + 5m2m12VІ/8m22.

Откуда получим выражение для определения массы:

1 - ј = 5m1/4m2 и, окончательно, m2 = 5m1/3.

Задача № 2-14

Небольшое тело массой m = 10 г соскальзывает с высоты Н = 1,2 м по наклонному желобу, переходящему в «мертвую петлю» радиуса R = 0,4 м. Найдите величину работы силы трения, если известно, что сила давления тела на желоб в верхней точке петли равна нулю.

Дано: m = 10 г = 10-2 кг, Н = 1,2 м, R = 0,4 м. Определить Атр - ?

Рис.8.

Для нахождения работы силы трения Атр воспользуемся законом изменения механической энергии:

(Ек2 + Еп2) – (Ек1 + Еп1) = Атр (1).

Здесь Ек2 = mVІ/2– кинетическая энергия тела в верхней точке петли, Еп2 = mg2R – потенциальная энергия тела в верхней точке петли, Ек1 = 0 – кинетическая энергия неподвижного тела на высоте Н, Еп1 = mgН - потенциальная энергия тела на высоте Н.

Подставим все выражения в уравнение (1):

mVІ/2 + mg2R – mgН = Атр (2).

Из уравнения (2) следует, что для решения задачи необходимо определить минимальную скорость тела в верхней точке петли. Для этого запишем уравнение второго закона Ньютона тела для этой точки:

N + mg + Fтр = ma.

Проецируем это уравнение на ось OY :

N + mg = maц, где aц - центростремительное ускорение.

По условию задачи сила давления на желоб в верхней точке N = 0, откуда g = aц. Учитывая, чтоaц = VІ/R, получаем квадрат минимальной допустимой скорости VІ = Rg. Подставляем выражение для VІ в (2):

Атр= mRg/2 + mg2R – mgН = - 0,02 Дж.

Клин массой М = 2 кг находится на идеально гладкой горизонтальной плоскости. На клине лежит брусок массой m = 0,5 кг, который под действием силы тяжести может скользить по клину без трения. Наклонная плоскость клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости. В начальный момент система покоилась. Найти скорость Vклина в тот момент, когда брусок с высоты h = 1 м соскользнет на плоскость.

Дано: М = 2 кг, m = 0,5 кг, h = 1 м. Определить V - ?

Рис. 2.14.

На клин и на тело не действуют силы трения, следовательно, система клин – тело замкнутая система. В этом случае мы можем применять законы сохранения импульса и сохранения механической энергии.

В начальный момент времени (рис. 2.14, а) тело и клин были неподвижны, их суммарный импульс был равен нулю. Когда тело соскользнуло с клина (рис. 2.14, б), тело имеет импульс mV, а клин – импульс MU. Запишем уравнение сохранения импульса в проекциях на ось ОХ:

ОХ: 0 = MU – mV (1).

Считаем, что на горизонтальной плоскости потенциальная энергия тела равна нулю. Тогда в точке А у неподвижного тела потенциальная энергия ПА = mgh, кинетическая энергия КА = 0. В момент, когда тело съезжает с клина, его потенциальная энергия ПВ = 0, а кинетическая КВ1 =mVІ/2. Также и клин приобрел кинетическую энергию КВ2 = MUІ/2. Потенциальная энергия клина во время взаимодействия с телом не меняется, поэтому мы её не учитываем.

Запишем закон сохранения механической энергии

КА + ПА = КВ1 + КВ2 +ПВ или mgh = mVІ/2 + MUІ/2 (2).

Уравнения (1) и (2) представляют собой систему относительно неизвестных U и V. Для решения системы из уравнения (1) выразим V = MU/m и подставим в (2)

mgh = MІUІ/2m + MUІ/2 => UІ(MІ + mM) = 2mІgh =>

Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 1 ЕГЭ

Задача №1-2

Объем воздушного пузырька удваивается при подъеме со дна озера на поверхность.

Какова глубина озера?

Дано: V2 = 2V1. Определить h - ?

Считаем, что температура воды на дне озера и на поверхности одинакова, т. е. процесс расширения воздуха в пузырьке изотермический. Следовательно, мы можем воспользоваться законом Бойля-Мариотта:

p1V1 = poV2 (1),

где V1 и V2 = 2V1 – объёмы пузырька воздуха на дне озера и на его поверхности, соответственно; ро–давление воздуха на поверхности озера, равное атмосферному давлению (ро = 105 Па), р1 = ро + сgh – давление на дне озера, здесь с = 103 кг/м3 – плотность пресной воды, h – глубина озера.

Подставляем все записанные выражения в уравнение (1):

(ро + сgh)V1 = po2V1 => ро + сgh = 2po => сgh = po, откуда

h = po/сg ≈ 10 м.

Задача № 1-16

Стальной шар с объемом V и массой m удерживается под водой от погружения на дно пружиной жесткости k. Найдите энергию деформации пружины. Массой и объемом пружины пренебречь. Плотность воды равна с.