Статика (стр. 1 )

Статика

Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 1 ЕГЭ

Задача № 1-7

Какой должна быть сила F, чтобы можно было равномерно двигать ящик массой М = 60 кг вдоль горизонтальной поверхности, если коэффициент трения между ящиком и площадкойм = 0,27, а сила действует под углом б = 30о к горизонту?

Дано: М = 60 кг, м= 0,27, б = 30о. Определить F - ?

Рис. 4.

На ящик, двигающийся равномерно, действуют силы: Mg – сила тяжести, F – сила тяги, Fтр – сила трения, N – сила нормальной реакции площадки. Запишем для ящика уравнение первого закона Ньютона: Mg + F + Fmp + N = 0. Спроецируем это уравнение на оси OX и OY:

OX: Fcosб - Fтр=0 (1), OY: N + Fsinб – Mg = 0 (2).

Из уравнения (2) выразим N = Mg – Fsinб, запишем Fтр= мN = мMg – мFsinб и подставим в уравнение (1): Fcosб - мMg + мFsinб = 0.

Решаем это уравнение относительно силы F : Fcosб + мFsinб = мMg,

Задача № 1-10

Тело массой m1 = 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (рис. 1-2.8). Чему равна масса груза m2, который надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия и чему равна сила натяжения нити Т, на которой подвешен стержень?

Дано: m1 = 0,2 кг. Определить m2 - ? Т - ?

Рис. 10.

Чтобы стержень не вращался вокруг точки его подвеса, необходимо, чтобы сумма моментов всех внеш­них сил относительно этой точки была бы равна нулю. Запишем моменты сил относительно точки подвеса.

Обозначим расстояние между любыми двумя соседними точками стержня через l.

Момент силы М1, создаваемый силой тяжести груза m1 относительно точки подвеса О равен М1 = m1gd1 = 4m1gl,

где d1 = 4l – плечо силы тяжести груза m1.

Момент М1 вращает стержень по часовой стрелке.

Момент силы М2, создаваемый силой тяжести груза m2 относительно точки подвеса О равен

М2 = m2gd2 = 2m2gl,

где d2 = 2l – плечо силы тяжести груза m2. Он вращает стержень против часовой стрелки.

Момент силы Т относительно точки подвеса О равен нулю, так как линия действия этой силы проходит через точку О.

Запишем уравнение равновесия для моментов сил:

М2 – М1 = 0 => 2m2gl - 4m1gl = 0.

Из этого уравнения находим массу груза, который надо подвесить к левой части стержня, чтобы стержень был в равновесии: m2 = 2m1 = 0,4 кг.

Так как стержень не перемещается поступательно, то запишем силовое уравнение равновесия стержня в проекциях на вертикальную ось  T – m1g – m2g = 0, откуда находим T = m1g + m2g = 5,9 Н.

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ Задача № 2-9

Какой угол б должно составлять направление силы с горизонтом, чтобы при равномерном перемещении груза по горизонтальной плоскости сила F была наименьшей? Сила приложена в центре тяжести груза, коэффициент трения равен м.

Дано: м. Определить б при Fмин.

Рис. 9.

На груз, двигающийся равномерно, действуют силы: Mg – сила тяжести F – сила тяги, Fтр – сила трения, N – сила нормальной реакции плоскости. Запишем для ящика уравнение первого закона Ньютона: Mg + F + Fтр + N = 0.

Спроецируем это уравнение на оси OX и OY:

OX: Fcosб - Fтр=0 (1), OY: N + Fsinб – Mg = 0 (2).

Из уравнения (2) выразим N = Mg – Fsinб, запишем Fтр= м N = м Mg - м Fsinб и подставим в уравнение (1):

Fcosб - м Mg + м Fsinб = 0.

Решаем это уравнение относительно силы F :

Fcosб + м Fsinб = м Mg, откуда F = мMg/(cosб + мsinб) (3).

В задаче надо найти угол направления силы при условии, что сила будет минимальна. Для этого найдем производную от силы (3) по углу б и приравняем к нулю

Если уравнение в виде дроби равно 0, то равен нулю числитель этой дроби:

мcosб – sinб = 0, откуда tgб = м и, окончательно, б = arctgм.                                                                                                                                        

Задача № 2-24

Три массы m1 = 1 кг, m2 = 2 кг и m3 = 3 кг находятся в равновесии на метровом однородном стержне массой m = 1 кг под действием силы тяжести (рис. 2.24). Чему равно расстояние х?

Дано: m1 = 1 кг, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг, m = 1 кг, L = 1 м, L1 = 0,5 м. Определить х - ?

Рис. 2.24.

Условием равновесия стержня является уравнение ∑Moi = 0, показывающее, что сумма моментов всех сил тяжести относительно точки О равна нулю.

Запишем уравнение моментов для данной задачи ∑Moi = М1 + М2 + М – М3 = 0,

где М1 = m1gh1 – момент силы тяжести массы m1 относительно точки О, h1 = (L – х) – плечо силы тяжести m1g,

М2 = m2gh2 – момент силы тяжести массы m2 относительно точки О, h2 = ( L1 – х) – плечо силы тяжести m2g,

М = mgh2 - момент силы тяжести стержня m относительно точки О, h2 = (L1 – х) – плечо силы тяжести mg,

М3 = m3gh3 – момент силы тяжести массы m3 относительно точки О, h3 = х – плечо силы тяжести m3g.

Перепишем уравнение моментов:

m1g(L – х) + m2g(L1 – х) + mg(L1 – х) - m3gх = 0 =>

m1L – m1 х + m2 L1 – m2 х + mL1 – mх - m3х = 0 =>

х(m1 + m2+ m3+m) = m1 L+ m2 L1+ mL1, откуда

Кинематика

Задача № 1-1

Из двух точек А и В, расположенных на расстоянии 90 м друг от друга, одновременно в одном направлении начали движение два тела. Тело 1, движущееся из точки А, имело скорость 5 м/с, а тело 2, движущееся из точки В, - скорость 2 м/с. Через какое время первое тело нагонит второе? Какое перемещение совершит каждое тело?

Дано: X01 = 0; X02 = 90 м; V1 = 5 м/c; V2 = 2 м/c. Определить: t - ?; S1 - ?; S2 - ?

Рис. 1.1.

Выберем начало оси ОХ в точке А и направим ее по направлению движения тел (см. рис. 1.1). Тогда уравнения движения будут:

для первого тела Х1 = V1· t (1) (так как X01 = 0),

для второго тела X2 = X02+ V2 · t (2),

где Х1 и Х2 координаты первого и второго тел во время t.

Пусть первое тело нагонит второе тело в точке С. Это произойдет в некоторый момент времениt1, когда координаты обоих движущихся тел будут равны, т. е. Х1 = X2 (3), откуда следует с учетом формул (1) и (2):

V1· t1 = X02 + V2· t1 (4).

Из уравнения (4) находим время движения тел до встречи в точке С:

t1 = X02 / (V1 - V2) = 90 / (5 - 2) = 30 с.

Перемещения тел за время их движения будут:

S1= Х1 - X01= V1 t1 = 5۰30 = 150 м, S2 = Х2 - X02 = V2 t1= 2۰30 = 60 м.

Задача № 1-18

Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью V1 = 10 м/с. Через время tо = 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением а = 3 м/с2. Чему равна скорость V2 мотоциклиста в момент, когда он догонит грузовик?

Дано: V1 = 10 м/с, tо = 5 с, а = 3 м/с2. Определить V2 - ?

Обозначим через t момент времени, когда мотоциклист догонит грузовик. К этому моменту времени грузовик пройдет расстояние S1 = V1t.

Мотоциклист начинает двигаться с задержкой по времени, равной tо = 5 с, поэтому его путь к моменту, когда он догонит грузовик, выразим уравнением

Приравнивая полученные выражения и решаем

=> 20t = 3t 2 – 30t + 75 => 3t 2 – 50t + 75 = 0.

Находим корни полученного квадратного уравнения:

Время t2 не удовлетворяет условию задачи, так как задержка выезда мотоциклиста от остановки равна tо = 5 с.

Следовательно, скорость мотоциклиста в момент, когда он догонит грузовик, равна

V2 = а(t – 5) = 30 м/с.

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ

Задача № 2-6

Автомобиль начинает движение без начальной скорости и проходит первый километр с ускорением а1, а второй - с ускорением а2. При этом на первом километре его скорость возрастает на ДV1= 10 м/с, а на втором ­ на ДV2 =5 м/с. Что больше: а1, или а2? Найти ускорения.

Дано: SI = S2 = 103 м; Vо = 0; ДV1= 10 м/с; ДV2 = 5 м/с. Определить: a2> a1 или a2< a1 - ?

Пусть ось Х совпадает с направлением движения автомобиля. Начало оси выбираем в точке, из которой автомобиль начинает движение. Запишем уравнение движения автомобиля и уравнение изменения скорости:

X = Xo+Vot +at2/2 (1); V = Vo+at (2).

В соответствии с условиями задачи и выбором системы координат имеем: Xo= 0 и Vo= 0.

Для конечной точки первого километра пути уравнения (1) и (2) примут вид

S1 = Х1 - Хо = a1 t12/2 (3) и V1= a1•tl (4),

где t1 - время, за которое автомобиль проехал первый километр (S1 = 1 км). Из условия задачи известно, что V1 = ДV1= 10 м/с.

Решив эти уравнения, получим

V12 = 2a1S1, откуда a1= V12/ 2S1.

Подставив цифры, получим ускорение автомобиля на первом километре пути a1= 5•10-2 м/с2.

Для конечной точки второго километра уравнения (1) будет:

S2= X2 - X02= V1• t2 + a2• t22/2

(так как в начале второго километра пути начальная скорость V02 = V1 - скорости в конце первого километра и X02 = X1, t2 - время, за которое автомобиль проехал второй километр S2). При этом скорость V2 в конце второго километра будет: V2 = VI + ДV2= 10 + 5 = 15 м/с.