Статика (стр. 4 )

Дано: V, m, k, с. Определить W - ?

Рис. 9.

Формула определения энергии деформации пружины имеет вид: W = k(ДL)І/2 (1), где ДL – удлинение пружины, удерживающей шар. Для нахождения удлинения пружины рассмотрим равновесие погруженного в воду шара (рис. 9).

На шар, погруженный в воду, действуют силы: mg – сила тяжести; F = сgV – выталкивающая сила Архимеда; Т – сила упругости пружины (Т = Fуп = kДL).

Уравнение равновесия в проекции на ось Y будет иметь вид:

F + Т - mg = 0 => сgV + kДL = mg.

Из этого уравнения выражаем удлинение пружины:

Подставляем выражение для ДL в (1), получаем формулу для рассчета энергии деформации пружины:

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ

Задача № 2-16

Плавая в первой жидкости, куб погружался на глубину h1 = 3 см, плавая во второй жидкости куб погружается на h2 = 7 см. На какую глубину h3 он погрузится в третьей жидкости, плотность которой равна среднему арифметическому плотностей двух первых жидкостей.

Дано: h1 = 3 см = 0,03 м, h2 = 7 см = 0,07м, с3 = (с1+ с2)/2. Определить h3 - ?

Рис. 8.

Запишем общее уравнение плавания куба в жидкости: mg = F, которое будем применять для каждой жидкости. В этом уравнении m - масса куба, F = сgSh – выталкивающая сила, с – плотность жидкости, S – площадь нижней грани куба, h – глубина погружения, своя для каждой жидкости(рис.8).

Запишем уравнения плавания куба для трех рассматриваемых жидкостей:

для первой жидкости: mg = с1gSh1 (1);

для второй жидкости: mg = с2gSh2 (2);

для третьей жидкости: mg = с3gSh3 (3).

Из уравнения (1) выразим плотность первой жидкости с1 = m/Sh1. Из уравнения (2) выразим плотность второй жидкости с2 = m/Sh2.

Глубину погружения куба в третьей жидкости выразим из уравнения (3): h3 = m/с3S (4).Плотность третьей жидкости с3 определим по формуле:

Задача № 2-25

Сколько времени потребуется для наполнения водой чайника объемом V = 3 л из водопроводного крана в квартире, расположенной на четвертом этаже, если площадь выходного сечения крана S2 = 1 см2 (много меньше площади S1, свободной поверхности жидкости в башне) и он расположен на высоте h = 1,5 м от пола, а уровень воды в водопроводной башне поддерживается на постоянной высоте Н = 60 м (расстояние отсчитывается от пола).

Дано: V = 3 л = 3·10-3 м3, S2 = 1 см2 = 10-4 м2, h = 1,5 м, Н =60 м. Определить t - ?

Запишем для водопроводного крана и поверхности воды в водонапорной башне уравнение Бернулли

В этом уравнении с = 103 кг/м3 - плотность воды, v1 и v2 - скорости течения воды в сечениях S1 - уровня воды в водонапорной башне и S2 - водопроводного крана, соответственно, Н и h –высоты расположения сечений S1 и S2 над уровнем пола, po – атмосферное давление.

Так как в задаче сказано, что S1 >> S2 , и, учитывая уравнение неразрывности S1v1 = S2v2 ,получаем v1 << v2 . Следовательно скоростью v1 в уравнении Бернулли можно пренебречь и уравнение будет иметь вид:

сgН = сv2І/2 + сgh, откуда v2І = 2g(Н – h), или v2 = √2g(Н – h).

Зная скорость истечения воды из крана v2 , определим секундный расход воды при наполнении чайника:

Q = v2S2= S2√2g(Н – h).

Время необходимое для наполнения чайника определим по формуле

Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 1 ЕГЭ

Задача № 1-1

Частица совершает простое гармоническое движение. Смещение х как функция времени показано на рисунке 1. Чему равны амплитуда, период, максимальная скорость имаксимальное ускорение в этом движении?

Дано: х(t). Определить A - ? T - ? Vмах - ? амах - ?

Рис. 1.

Амплитуда это наибольшее отклонение частицы от положения равновесия. Из рисунка видно, что это наибольшее отклонение соответствует значению А = 1,5 см. Период Т это интервал времени за которое происходит одно полное колебание частицы. В данном случае, судя по рисунку, период колебаний частицы Т = 4 с.

Для определения максимальных значений скорости и ускорения сначала запишем уравнение движения частицы x(t) = A sinщot. Начальная фаза колебаний частицы, в данном случае, б = 0, так как частица начинает движение из начала координат. Циклическую частоту колебаний определим по формуле щo = 2р/T = 1,57 рад/с.

Скорость колеблющейся частицы есть первая производная по времени от смещения частицы:

V(t) = x' = Aщocosщot.

Скорость также является гармонической функцией. Выражение Aщo является амплитудой этой функции, т. е. представляет собой максимальную скорость при колебаниях частицы:

Vмах= Aщo= 2,36 см/с.

Ускорение частицы есть первая производная по времени от скорости частицы, либо вторая производная по времени от смещения частицы:

a(t) = V' = x" = - AщoІsinщot,

Ускорение также является гармонической функцией. Выражение AщoІ является амплитудой этой функции, т. е. представляет собой максимальное ускорение частицы

амах= AщoІ = 3,54 см/с2.

Задача № 1-7

Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса?

Дано: с1 = 8,9•103 кг/м3, с2 = 2,7·103 кг/м3. Определить T1/T2 - ?

Так как шарики, подвешенные к пружине, представляют собой пружинные маятники, то периоды их колебаний найдем по формулам:

В этих формулах k - коэффициент жесткости данной пружины; m1 = с1·V – масса медного шарика, m2 = с2·V – масса алюминиевого шарика. Объемы шариков V одинаковы, так как в условии задачи сказано, что радиусы шаров одинаковы.

Результаты решения показывают, что период колебаний маятника уменьшился в 1,8 раза.

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ

Задача № 2-9

На поверхности воды плавает прямоугольный брусок массой m и площадью поперечного сечения S (рис. 5). Ему толчком сообщают скорость Vo, направленную вертикально вниз. Найти частоту, начальную фазу и амплитуду колебаний бруска.

Дано: m, S, Vo. Определить нo - ? цo - ? ym - ?

Рис. 5.

В положении равновесия брусок погружен в воду на глубину Lo. На брусок действуют силы: mg– сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда F = сSLog, где с - плотность воды. Выполняется первый закон Ньютона, записанный в проекциях на ось ОY:

mg - сSLog = 0 (1).

При колебаниях, когда брусок будет погружен на глубину (Lo + у), увеличится действующая на брусок, выталкивающая сила и брусок будет двигаться в соответствии со вторым законом Ньютона

mg – сS(Lo + у)g = mа (2),

где а ускорение бруска, которое можно представить как вторая производная по времени от перемещения a = y".

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1), получим

– сSg у = my" или y" + (сSg/m) у = 0 (3).

Полученное уравнение (3) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решение имеет вид

y(t) = ymsin(щot + цo) (4),

где щo=√сSg/m - угловая частота колебаний, цo – начальная фаза, уm - амплитуда колебаний бруска.

Для определения амплитуды и начальной фазы воспользуемся начальными условиями:

в начальный момент при t = 0 смещение y(0) = 0, начальная скорость V(0) = Vo.

Смещение в начальный момент y(0) = ymsin(щo0 + цo) = 0, откуда sinцo = 0 => цo = 0.

Скорость в начальный момент V(0) = y'(0) = ymщocosщo0 = Vo, откуда ymщocos0 = Vo.

Задача № 2-21

К пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массой m = 0,1 кг. Жесткость пружины k = 40 Н/м. Определить амплитуду вертикальных колебаний системы, если в начальный момент времени груз оттянут вниз от положения равновесия на расстоянияхо = - 10 см и ему сообщена скорость Vо = 3,5 м/с, направленная вверх.

Дано: m = 0,1 кг, k = 40 Н/м, хо = 0,10 м, Vо = 3,5 м/с. Определить А - ?

Из условия задачи известны масса груза m и жесткость пружины k, следовательно, известен период колебаний Т пружинного маятника и циклическая частота щ:

Запишем для груза уравнение гармонических колебаний x(t) = Аsin(щt + ц) и уравнение гармонических колебаний для скорости V(t) = Aщcos(щt + ц).

Запишем начальные условия колебаний: при t = 0: xo = Asinц и Vо = Aщcosц.

Преобразуем эти записанные начальные условия к виду:

Возводим полученные выражения в квадрат, складываем и находим амплитуду:

Задача № 2-24

В покоящемся лифте период колебаний математического маятника T = 0,628с. С каким ускорением а должен двигаться лифт, чтобы период колебаний совпал с периодом колебаний груза массой m = 0,1 кг, подвешенным на пружине жесткостью k = 12,1 Н/м.

Дано: T = 0,628с, m = 0,1 кг, k = 12,1 Н/м. Определить а - ?

Запишем выражения для трех периодов гармонических колебаний:

1) математического маятника в покоящемся лифте: T = 2р√L/g (1), где L - длина нити маятника,

2) того же математического маятника в лифте, движущегося с ускорением: T1 = 2р√L/(g + а),