Статика (стр. 5 )

3) пружинного маятника: Т2= 2р√m/k.

По условию задачи Т1 = Т2 => 2р√L/(g + а) = 2р√m/k, откуда L = m(g + a)/k (2).

Из формулы (1) выразим L = gTІ/4рІ и подставим в (2):

gTІ/4рІ = m(g + a)/k, откуда получаем формулу ускорения:

а = gTІk/4рІm – g = 1,21g – g = + 2,06 м/с2.

Знак (+) показывает, что ускорение а направлено вверх.

Молекулярная физика Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 1 ЕГЭ

Задача № 1-12

До какой температуры Т2 нужно нагреть воздух, содержащийся в открытой колбе при температуре t1 = 20o С, чтобы плотность воздуха уменьшилась в 2 раза?

Дано: t1 = 20o С, Т1 = 293 К, с1/с2 = 2. Определить Т2 - ?

Так как воздух находится в открытой колбе объёмом V, то в обоих случаях давление воздуха в колбе будет одно и тоже: р1 = р2 = р, а массы воздуха, заполняющие колбу m1 и m2, разные. Запишем для этих случаев два уравнения Клапейрона – Менделеева:

Задача № 1-30

Из баллона объема V = 200 дм3, содержащего гелий при давлении р1 = 2·106 Па и температуре Т = 273 К, израсходовали часть газа, занявшего при нормальных условиях объемV1= 1 м3. При повторном измерении давления в баллоне получено значение р2 =1,4·106 Па. При какой температуре проведено это измерение?

Дано: V = 0,2 м3, р1 = 2·106 Па, Т = 273 К, V1= 1 м3, р2 =1,4·106 Па. Определить Т2 - ?

В этой задаче будем трижды пользоваться уравнением Клапейрона – Менделеева. Сначала найдем массу гелия m в баллоне:

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ

Задача № 2-5

Баллон ёмкостью V1 = 2л, содержащий н1 = 1 моль газа при температуре t1 = 27оС, соединили с другим баллоном ёмкостью V2 = 4 л, содержащим н2= 2 моля этого же газа при температуре t2 = 87оС. Определите давление и температуру газа после установления теплового равновесия. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Дано: V1 = 2·10-3 м3, н1 = 1 моль, Т1 = 300 К, V2 = 4·10-3 м3, н2 = 2 моля, Т2 = 360 К.

Определить Т - ? р - ?

Для нахождения температуры газа после соединения баллонов воспользуемся законом сохранения энергии: Е = Е1 + Е2 (1). Здесь Е1 = N1 <ек1> и Е2 = N2 <ек2> - внутренняя энергия газа в первом и во втором баллонах, соответственно. <ек1> и <ек2> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа в первом и втором баллонах, N1 = н1NА и N2 =н2NА - число молекул в первом и во втором объёмах (NА = 6,02·1023 моль-1 – постоянная Авогадро)

Задача № 2-11

Открытую стеклянную трубку длиной L = 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку сверху закрывают и вынимают. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление ро = 750 мм рт. ст.

Дано: L = 1 м, ро = 750 мм рт. ст. Определить х - ?

Рис. 2.6.

При подъёме трубки ртуть будет вытекать из нее до тех пор, пока разность сил давления воздуха снаружи и внутри трубки не уравновесит силу тяжести столбика ртути, оставшегося в трубке. В этом случае давление внутри трубки будет

р = po ­ сgx (1), где с – плотность ртути, х – длина оставшегося в трубке столбика ртути.

Уравнение (1) имеет два неизвестных: р и х. Для решения задачи строим второе уравнение: воспользуемся законом Бойля - Мариотта, считая температуру и массу воздуха в трубке постоянными. Для этого рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Первое состояние: объём воздуха V1 = ЅL·S, исходное давление р1 = ро. Второе состояние : объём V2 = (L - х)·S, конечное давление р2 = р = po ­ сgx. Запишем уравнение закона Бойля - Мариотта:

р1V1 = р2V2 => Ѕро LS = р(L – х)S (2), где S – площадь поперечного сечения трубки.

Решаем совместно уравнения (1) и (2). Подставим давление р из (1) в уравнение (2), получим:

Ѕро L = (ро – сgх)(L – х) (3).

Для упрощения решения уравнения (3) выразим атмосферное давление ро как ро = сgН, где Н= 750 мм. После упрощения получим квадратное уравнение

Второй корень этого уравнения превышает длину трубки и нам не подходит.

Задача № 2-29

Цилиндрический сосуд длиной L =1,5 м, разделенный теплонепроницаемым легким поршнем, заполнен идеальным газом. В начальном состоянии объем левой части сосуда вдвое больше правой,. а температура в обоих частях одинакова На сколько переместится поршень, если температуру в правой части увеличить вдвое? Температура в левой части поддерживается постоянной.

Дано: L =1,5 м, V1 = 2V2 , Т2 = 2Т1. Определить х - ?

Рис. 14.

Так как объём левой части цилиндра в 2 раза больше объёма правой части, то, соответственно, длина левой части цилиндра в два раза больше длины правой части (см рис.14): L1 =2L2. Вся длина цилиндра – L, следовательно, L1 = 2L/3 и L2 = L/3.

Запишем два уравнения Клапейрона для газа в левой и правой частях цилиндра (рис.14):

Термодинамика  Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 1 ЕГЭ

Задача № 1-3.

Гелий нагревается при постоянном давлении. При этом ему сообщено Q = 20 кДж теплоты. Определить изменение внутренней энергии газа и совершенную им работу.

Дано: Q = 20·103 Дж. Определить ДU - ? A - ?

Так как по условию задачи процесс изобарный (р = соnst), то совершаемая при этом работа газом будет А = нRДT, где н – число молей гелия, ДT - изменение температуры гелия..

Гелий - одноатомный газ, формула расчета его внутренняя энергия будет U = 3нRT/2, а изменение энергии ДU = 3нRДT/2. Сравнивая формулу работы А и формулу изменения внутренней энергии ДU, получаем, что ДU = 3А/2.

Тогда, на основании уравнения первого закона термодинамики Q = A + ДU, получим

Q = 3А/2 + А = 5А/2.

Отсюда, работа газа А = 2Q/5 = 8 кДж, изменение внутренней энергии ДU = 3А/2 = 12 кДж.

Задача № 1-26

Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1-2-3 ( рис. 5), где То = 100 К). На участке 2-3 к газу подводят Q23 = 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы А, совершаемой газом в ходе процесса, к количеству поглощенной газом теплоты Q.

Дано: н = 1, Т1 = То = 100 К, Q23 = 2,5·103 Дж. Определить А/Q - ?

Рис. 5.

На графике приведен процесс, состоящий из двух частей: изохорического процесса (1-2) (прямая линия, продолжение линии проходит через начало координат) и изотермического процесса(2-3).

В соответствии с первым законом термодинамики уравнение данного процесса:

Q = A + ДU (1), где А = А12 + А 23 и ДU = ДU12 + ДU12.

В изохорном процессе (1-2) работа А12 = 0, а в изотермическом процессе (2-3) ДU23 = 0, следовательно, Q = А 23 + ДU12, а работа А = А23 , а так как ДU23 = 0, то А23 = Q23, откуда работа газа в процессе равна А = Q23 .

Изменение внутренней энергии газа на участке 1-2:

Тогда из уравнения (1) получаем: Q = Q23 + 3нRTо.

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И 2 ЕГЭ

Задача № 2-9

Над молем идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс), состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 5). Температуры в точках 1 и З равны соответственно Т1 и Т3. Определить работу, совершенную газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Дано: Т1, Т3. Определить А - ?

Рис. 5.

Работа, совершаемая газом численно равна площади прямоугольника 1,2,3,4, изображающего цикл. Работа равна

А = (p2 – p1)(V4 – V1) = p2V4 – p1V4 – p2V1 + p1V1 (1).

Обозначим температуры точек 2 и 4 цикла Т2 = Т4 = Т. Запишем для каждой точки цикла уравнение состояния:

р1V1 = RT1 (2), p2V2 = RT (3), p3V3 = RT3 (4), p4V4 = RT (5).

Воспользуемся также законом Гей-Люссака для процессов 4-1 и 2-3:

Рассмотрим по порядку слагаемые в правой части уравнения (1):

Учитывая, что р2 = р3 и V4 =V3, получим p2V4 = p3V3 = RT3 .

Учитывая, что р1 = р4 , получим p1V4 = p4V4 = RT.

Учитывая, что V1 =V2, получим p2V1 = p2V2 = RT и последний член р1V1 = RT1.

Задача № 2-16

В длинной закрытой трубке между двумя поршнями массой М каждый находится идеальный газ, масса которого много меньше массы поршней, в остальном пространстве трубы - вакуум. В начальный момент правый поршень имеет скорость 2u, левый - 4u. Найдите максимальную температуру газа, если стенки трубки и поршня теплонепроницаемы. Температура газа в начальный момент То. Внутренняя энергия массы газа U = CТ.

Дано: М, 2u, 4u, То, U = CТ. Определить ТМ -?

Рис. 2.9.

Система, состоящая из трубки, двух поршней и некоторой массы идеального газа, теплоизолирована, трение отсутствует, то эту систему можно считать изолированной, а полную энергию системы считать постоянной E = const. Система в начальный момент времени обладает энергией, равной сумме кинетических энергий поршней и внутренней энергии газа СТо:

Начальный импульс системы направлен вправо и его модуль равен

Р1 = 4Mu + 2Mu = 6Mu

(импульс газа не учитываем из-за малости его массы по сравнению с массами поршней).

Так как начальная скорость левого поршня больше, чем правого, то газ между поршнями подвергается сжатию. При этом скорость правого поршня возрастает, а скорость левого - убывает. Так как система теплоизолирована, то сжатие газа приводит к росту его температуры. Температура перестает расти и достигает максимума Тм в тот момент, когда прекращается сжатие, а это соответствует равенству скоростей поршней. Обозначим равную скорость поршней в этот момент буквой V. Тогда импульс системы в этот момент будет