Учебно — методический комплекс Дисциплины «Теоретическая механика» для специальности: 5В071200 — «Машиостроение» Учебно-методические материалы (стр. 8 )

. Функция U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn, yn, zn) назыв. силовой функцией. Элементарная работа сил поля: δА=∑δАi= dU. Если силовое поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении , т. е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о  формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Потенциальная энергия  П  равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П0= 0. П=П(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn, yn, zn). Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий А1,2= П1– П2. Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на постоянную величину U0:  А1,0= П =U0 – U. Потенциальная энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц. энерг. поля центральных сил. Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния  r  точки массой  m  до центра: ,  . Центральной является гравитационная сила ,

, f = 6,67⋅10-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v1=≈ 7,9 км/с, R = 6,37⋅106м – радиус Земли; тело выходит на круговую орбиту. Вторая космическая скорость: v11=≈ 11,2 км/с, траектория тела парабола, при v >v11– гипербола. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин:

, λ – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: , λ1 и λ2 – деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.

          Вопросы для самоконтроля:

1. Опишите общие теоремы динамики

2. Теорема об изменении количества движения материальной точки

3. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

4. Элементарная работа - опишите это понятие

5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

               Рекомендуемая литература

1. , , Курс теоретической механики. Т.1, 2 М., 1985.

2  , Курс теоретической механики.– М.: , 1983.

3 Теоретическая механика. –М., 1980

4 , Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания

5 , , Курс теоретической механики. Ч 1, М., 1984 и предыдущие издания

Лекция 7: Динамика системы.

План:	1. Введение в динамику системы. Масса системы. Центр масс
2. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра масс
3. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. Моменты инерции некоторых тел. Теорема Гюйгенса. Центробежные моменты инерции
4. Теорема об изменении количества движения системы. Количество движения системы. Приложение теоремы к движению жидкости. Тело переменной массы. Формулы Мещерского и Циолковского. 5. Теорема об изменении момента количества движения системы. Главный момент количества движения системы. Теорема моментов
6. Закон сохранения главного момента. Приложение теоремы моментов к движению жидкости. Турбинное уравнение Эйлера
7. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Кинетическая энергия системы: 1.Поступательное движение. 2.Вращательное движение. З. Плоскопараллельное движение. Некоторые случаи вычисления работы. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Динамика материальной системы

Материальная система – совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязаны. Масса системы = сумме масс всех точек (или тел), образующих систему: М=∑mk. Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т. д. Внешние силы Fe – силы, действующие на точки системы со стороны тел, не входящих в систему. Внутренние силы Fi – силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему. Свойства внутренних сил: 1) Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил = 0; 2) Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки = 0. Дифф-ные ур-ния движения системы матер. точек:

или в проекциях на оси координат: и т. д. для каждой точки (тела) системы. Геометрия масс.

Момент инерции матер. точки относительно некоторой оси называется произведение массы  m  этой точки на квадрат ее расстояния  h  до оси:  mh2. Момент инерции тела (системы) относительно оси Оz: Jz= ∑mkhk2. При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: Jx= ∫(y2+z2)dm;  Jy= ∫(z2+x2)dm;  Jz= ∫(x2+y2)dm – относительно координатных осей. Jz= M⋅ρ2, ρ – радиус инерции тела – расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела. Момент инерции относительно оси (осевой момент инерции) всегда >0. Полярный момент инерции Jo= ∫( x2+y2+z2)dm;  Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент инерции  Jxy для матер. точки называется произведение ее координат  x  и  y  на ее массу  m. Для тела центробежными моментами инерции называются величины, определяемые равенствами: Jxy=∫xy dm; Jyz=∫yz dm; Jzx=∫zx dm. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т. е. Jxy=Jyx и т. д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль. Главной осью инерции тела назыв. ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если Jxz=Jyz=0, то ось z – главная ось инерции. Главной центральной осью инерции назыв. главная ось инерции, проходящая через центр масс тела. 1)Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки, в которой ось пересекает плоскость. 2)Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела (ось динамической симметрии). Размерность всех моментов инерции [кгм2]

Центробежный момент инерции зависят не только от направления координатных осей, но и от выбора начала координат.

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции некоторых однородных тел:

стержень массы  m  и длины  L: ; .

Однородный сплошной диск с центром в точке С радиуса R и массы m: . Полый цилиндр: ,

цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): .

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

. Наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс. Момент инерции относительно произвольной оси L:  J = Jxcos2α + Jycos2β + Jzcos2γ – 2Jxycosαcosβ – 2Jyzcosβcosγ – 2Jzxcosγcosα,

если координатные оси являются главными относительно своего начала, то:

J = Jxcos2α + Jycos2β + Jzcos2γ.  Теорема о движении центра масс системы.

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил – дифференциальное уравнение движения центра масс. В проекциях на оси координат: .