Часть 1 (В) (стр. 2 )

Указать корни уравнения из промежутка .

C 2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанной около нее сферы равен 2, а боковое ребро в раз больше ребра основания.

С3. Решите уравнение: .

C4. Окружность радиуса 3, центр О которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника, касается катетов. Найдите площадь треугольника, если ОА = 5.

С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет бесконечно много решений.

С6. На факультет подано от немедалистов на 600 заявлений больше, чем от медалистов. Девушек среди немедалистов больше, чем среди медалистов, в 5 раз, а юношей среди немедалистов больше, чем среди медалистов, в n раз, где n – натуральное число и . Найдите общее число заявлений, если среди медалистов юношей на 20 больше, чем девушек.

ЧАСТЬ 1 (В).

В 1. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 20%?

В 2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров осадков.

В 3. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

В 4. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30 фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?

В 5. Найдите корень уравнения .

В 6. В треугольнике ABC угол C равен , АВ = 5, . Найдите AC.

В 7. Найдите значение выражения:

В 8. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-5; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

B 9. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

B 10. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

B 11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

B 12. При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где — коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

B 13. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 26 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 39 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

B 14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

ЧАСТЬ 2 (С).

С 1. Решить уравнение:

Указать корни уравнения из промежутка .

C 2. Дана прямая призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой СВ, равной . Угол между плоскостями САВ и АВС1 равен 30о. Найдите угол (в градусах) между плоскостями АВС и А1ВС, если ребро ВВ1 равно 4.

С3. Решите неравенство:

C4. В треугольнике АВС, АВ = 12, ВС = 5, АС = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4 : 9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ABD и ACD, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

С5. Найдите все значения p, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

C6. Каждое из чисел 2, 3, ... , 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

ЧАСТЬ 1 (В).

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в . Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой , где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше 120 ? Ответ дайте в километрах в час.

3. Найдите ( ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

4. Для транспортировки 36 тонн груза на 500 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)	Грузоподъемность автомобилей (тонн)
А	3200	3,5
Б	4100	5
В	9500	12

5. Решите уравнение:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6. В ромбе ABCD угол ACD равен 43o. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

7. Найдите значение выражения:

8. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

9. Найдите угол B1DD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 15, AD = 8, AA1 = 17. Ответ дайте в градусах.

10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.

11. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны .

12. Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где m — масса груза (в кг), — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.