Часть 1 (В) (стр. 3 )

13. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

14. Найдите наибольшее значение функции .

ЧАСТЬ 2 (С).

С 1. Решить уравнение:

Указать корни уравнения из промежутка .

С 2. В правильной пирамиде SABCD с высотой 4, сторона основания SABC равна 6. Точки M и N - середины BC и CD. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду SMNC.

C 3. Решите уравнение: .

C4. В окружность диаметром 25 вписан равнобедренный треугольник с боковой стороной 20. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

С5. При каких значениях а выражение 1+ sin x (3sin x + a cos x) не равно нулю ни при каких значениях х?

С6. Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение.

Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго — с минусами, то сумма максимальна и равна

Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из полученных сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.

Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:

Ответ: 1 и 805.

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами

и , найдите такую, знаменатель которой минимален.

Решение:

и

Так как дроби имеют целую часть 2, то достаточно найти правильную дробь с наименьшим знаменателем, лежащую между

числами и а затем прибавить к ней число 2.

Методом подбора:

Следовательно искомая дробь:

Затем прибавляем к ней число 2 и получаем:

Ответ:

Найдите все целые значения m и k такие, что

Решение:

Заметим, что из условия следует, что k ϵ N.

Далее имеем:

Если m = 0, то каждое из слагаемых равно 1, и при k = 2010 равенство будет верно.

Если m < 0, то левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом 3-1 и знаменателем 3-1 , сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем.

В этом случае уравнение не имеет решений.

Если m > 0, то получаем:

Числа 670 и 3m - 1 на три нацело не делятся, следовательно, m = 1 , откуда

и

Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ: m = 0, k = 2010.

ЧАСТЬ 1 (В).

1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?

2. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат – крутящий момент в . Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 . Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

3. Найдите ( ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

4. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 27 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 27 секунд, а Миша загружает файл размером 32 Мб за 27 секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 384 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

5. Найдите корень уравнения .

6. В треугольнике АВС угол А равен , а углы В и С — острые. ВD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

7. Найдите значение выражения

8. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

9. В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите длину диагонали .

10. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

11. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

12. Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где m — масса груза (в кг), — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

13. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?