Часть 1 (В) (стр. 6 )

Следовательно искомая дробь:

Затем прибавляем к ней число 2 и получаем:

Ответ:

Найдите все целые значения m и k такие, что

Решение:

Заметим, что из условия следует, что k ϵ N.

Далее имеем:

Если m = 0, то каждое из слагаемых равно 1, и при k = 2010 равенство будет верно.

Если m < 0, то левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом 3-1 и знаменателем 3-1 , сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем.

В этом случае уравнение не имеет решений.

Если m > 0, то получаем:

Числа 670 и 3m - 1 на три нацело не делятся, следовательно, m = 1 , откуда

и

Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ: m = 0, k = 2010.

ЧАСТЬ 1 (В).

1. В летнем лагере 220 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 49 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

2. На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Наименование продукта	Тверь	Липецк	Барнаул
Пшеничный хлеб (батон)	11	12	14
Молоко (1 литр)	26	23	25
Картофель (1 кг)	9	13	16
Сыр (1 кг)	240	215	260
Мясо (говядина)	260	280	300
Подсолнечное масло (1 литр)	38	44	50

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

5. Найдите корень уравнения .

6. В треугольнике АВС угол А равен , а углы В и С — острые. ВD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

7. Найдите , если и .

8. На рисунке изображен график функции y = f (x) определенной на интервале ( - 2 ;11). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SC = 5 , AC = 6. Найдите длину отрезка SO.

10. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

11. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

12. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ЧАСТИ В

ЧАСТЬ 2 (С).

С1. Решить уравнение . Указать корни уравнения из промежутка .

C2. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны, точка К - середина В1С1. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью В1КР, где точка Р - середина АА1.

C3. Решите неравенство:

С4. Площадь трапеции ABCD равна 90, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке О; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

C5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенств

имеет единственное решение.

C6. Решите в натуральных числах уравнение

(Для натурального n символом n! Обозначается произведение ).

В1. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

В2. В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

В3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)	Грузоподъемность автомобилей (тонн)
А	3200	3,5
Б	4100	5
В	9500	12

В5. Найдите корень уравнения

B6. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите .

B7. Найдите значение выражения .

B8. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

B9. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и прямоугольного параллелепипеда, для которого , , .

B10. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

B11. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

B12. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

B13. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

B14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ЧАСТИ В

ЧАСТЬ 2 (С)

C1. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

C2. В правильной шестиугольной призме стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой .

C3. Решите неравенство .

C4. В равнобедренном треугольнике ABCизвестны, что AC = 4,AB = BC = 6.Биссектриса угла Cпересекает сторону ABв точке D. Через точку Dпроведена окружность, касающаяся стороны ACв её середине и пересекающая отрезок ADв точке E. Найдите площадь треугольника DEC.

C5. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

C6. Найдите все целые значения m и k такие, что . айдите все целые значения m и k такие, что

Решение:

Заметим, что из условия следует, что k ϵ N.

Далее имеем:

Если m = 0, то каждое из слагаемых равно 1, и при k = 2010 равенство будет верно.

Если m < 0, то левая часть уравнения не превосходит суммы конечной геометрической прогрессии с первым членом 3-1 и знаменателем 3-1 , сумма которой, в свою очередь, меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии с тем же первым членом и тем же знаменателем.

В этом случае уравнение не имеет решений.

Если m > 0, то получаем:

Числа 670 и 3m - 1 на три нацело не делятся, следовательно, m = 1 , откуда

и

Последнее уравнение натуральных решений не имеет.

Ответ: m = 0, k = 2010.