Линейная алгебра (стр. 1 )

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1. Цели освоения дисциплины:

- оснастить обучающихся математическим инструментарием, необходимым для применения в практической профессиональной деятельности и в экономических исследованиях;

- дать обучающимся базовые знания по линейной алгебре, необходимые для понимания дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей и других дисциплин, требующих математической основы.

1.2. Задачи:

- развить логическое мышление,

- освоение обучающимися теоретических основ линейной алгебры как базы современных концепций математического моделирования;

- формирование навыков применения аппарата линейной алгебры в экономических исследованиях общего характера и в профессиональной практической деятельности.

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ Цикл (раздел) ОП: Б1.Б.8 Связь с другими дисциплинами учебного плана

Перечень предшествующих дисциплин	Перечень последующих дисциплин, видов работ
Математический анализ Экономическая теория	Теория вероятностей и математическая статистика Методы оптимизации Моделирование финансовых рисков Моделирование рынка ценных бумаг Эконометрика Математические методы и модели кредита Дипломное проектирование

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Формируемые компетенции	Осваиваемые знания, умения, владения
Код	Наименование
Общепрофессиональные компетенции (ОПК)
ОПК - 3	Способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы	З Основы линейной алгебры, в том числе теорию  матриц, систем линейных уравнений, векторных пространств, элементы аналитической геометрии,  необходимые для решения задач получения, хранения, обработки и анализа экономической информации;
У Выполнять операции над множествами, матрицами, элементами векторных и евклидовых пространств, решать системы линейных уравнений и задачи аналитической геометрии для обработки и анализа экономической информации
В Навыками осуществления расчетов, необходимых для составления экономических разделов планов, включающих математическую обработку данных методами линейной алгебры
Профессиональные компетенции
Аналитическая, научно-исследовательская деятельность
ПК-4	Способностью на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты	З Основы линейной алгебры и аналитической геометрии, в том числе теорию матриц, систем линейных уравнений и неравенств, теорию векторных пространств, понятие гиперплоскости, гиперповерхности уровня, необходимые для построения и анализа математических моделей экономических задач
У Применять инструментарий линейной алгебры для структурирования экономической информации и решения экономических задач
В Навыками применения математического инструментария линейной алгебры для построения математических моделей  исследуемых экономических процессов

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Аудиторные занятия − очная форма обучения

Кол. час	в том числе в интерактивной форме, час.	Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание	Формируемые компетенции
Первый семестр
36	-	Лекции
16	-	Модуль 1 «Матрицы, определители, системы линейных уравнений»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1 «Элементы теории множеств». Основные понятия и определения теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, их свойства. Декартово произведение множеств.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.2 «Комплексные числа». Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.	ОПК-3 ПК-4
4	-	Тема 1.3 «Матрицы и определители». Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц и его свойства. Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные свойства определителей. Тема 1.4 «Обратная матрица». Определение обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.5 «Системы линейных уравнений» Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения: решение системы, равносильные (неравносильные), совместные (несовместные), определенные (неопределенные), однородные (неоднородные) системы. Матрица системы линейных уравнений, расширенная матрица системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений.	ОПК-3 ПК-4
4	-	Тема 1.5 «Системы линейных уравнений». Метод Крамера. Матричный метод. Метод Жордана-Гаусса Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Понятие системы линейных уравнений, приведенной к единичному базису. Базисные и свободные переменные. Понятие общего, частного и базисного решений системы линейных уравнений. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.6 «Модифицированные жордановы исключения». Модифицированные жордановы исключения (МЖИ). Применение МЖИ в исследовании систем линейных уравнений и нахождении их базисных решений.	ОПК-3 ПК-4
20	-	Модуль 2 «Линейные пространства и квадратичные формы. Аналитическая геометрия»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1 «Векторные пространства». Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Пространство Rn. Линейная комбинация векторов. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Основные свойства линейно зависимых векторов. Понятие ранга матрицы.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1 «Векторные пространства». Понятие размерности и базиса пространства Rn. Разложение вектора по базису. Теорема о координатах суммы векторов и произведении вектора на действительное число. Основные теоремы о размерности и базисе линейных пространств. Критерий базисности векторов в пространстве Rn. Стандартный базис пространства Rn. Матрица перехода от одного базиса к другому.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2 «Евклидово пространство». Скалярное произведение в пространстве Rn, его свойства. Норма вектора, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные, ортонормированные системы векторов. Ортонормированный базис. Понятие евклидова пространства. Теоремы об ортогональных векторах евклидова пространства.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.3 «Линейные операторы». Понятие матричного оператора. Определение линейного оператора.  Ядро и образ линейного оператора. Понятие матрицы линейного оператора. Теорема о зависимости между матрицами одного и того же оператора в разных базисах.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.4 «Собственные значения и собственные векторы линейного оператора». Понятие собственных значений и собственных векторов линейного оператора (матрицы). Понятие характеристического уравнения линейного оператора или матрицы. Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.  Алгоритм определения собственных векторов линейного оператора (матрицы).	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.5 «Квадратичные формы» Понятие самосопряженного оператора. Теоремы о самосопряженных операторах. Определение квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Необходимые и достаточные условия существования положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы. Критерий Сильвестра.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.6 «Аналитическая геометрия: пиперплоскость в Rn». Гиперплоскость в Rn: общее уравнение гиперплоскости, вектор нормали; угол между гиперплоскостями. Взаимное расположение гиперплоскостей. Уравнение гиперплоскости в  Rn, проходящей через п точек. Расстояние от точки до гиперплоскости.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.7 «Аналитическая геометрия: прямая в  Rn». Параметрические, канонические уравнения прямой. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и гиперплоскостью. Уравнение отрезка, соединяющего две точки, и его середина. Прямая в R2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.8 «Кривые второго порядка» Гиперповерхности уровня линейных функций и квадратичных форм. Линии уровня квадратичных форм в R2. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, гиперболы и их построение. Фокус параболы с вершиной в начале координат и ее директриса.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.9 «Выпуклые множества в  Rn». Выпуклая линейная комбинация произвольных точек пространства Еп. Понятие выпуклого множества. Крайняя точка выпуклого множества. Теоремы о выпуклых множествах. Понятие полупространства. Системы линейных неравенств: решение, допустимое решение, область допустимых решений, совместность, несовместность. Многогранник решений. Эквивалентная система уравнений. Теорема о связи крайних точек области допустимых решений с опорными решениями эквивалентной системы уравнений.	ОПК-3 ПК-4К
36	36	Практические занятия
16	16	Модуль 1 «Матрицы, определители, системы линейных уравнений»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.1  «Элементы теории множеств». Способы задания множеств. Операции объединения, пересечения множеств, их свойства. Нахождение разности множеств и декартова произведения множеств. Тема 1.2 «Комплексные числа». Понятие комплексного числа, действительная и мнимая части комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.3 «Матрицы и определители». Линейные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц и его свойства. Транспонирование матриц. Вычисление определителей второго и третьего порядков.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.3 «Матрицы и определители». Свойства определителей. Вычисление определителей п-го порядка.  Решение систем линейных уравнений методом Крамера.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Самостоятельная работа на тему «Определители». Тема 1.4 «Обратная матрица». Нахождение обратной матрицы с помощью транспонированной матрицы алгебраических дополнений.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.5 «Системы линейных уравнений». Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса: определенные, неопределенные и несовместные системы. Нахождение общего и частного решений в случае неопределенной системы уравнений.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.5 «Системы линейных уравнений» Нахождение обратной матрицы с помощью с помощью элементарных преобразований. Решение систем линейных уравнений матричным методом. Тема 1.6 «Модифицированные жордановы исключения». Применение модифицированных жордановых исключений к решению систем линейных уравнений. Нахождение общего и базисных решений систем линейных уравнений с помощью модифицированных жордановых исключений (МЖИ). Число базисных решений.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.7 «Деловая игра по теме «Матрицы». Цель игры – обучение моделированию простейшего экономического процесса. Постановка задачи.  Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Необходимо определить общие затраты предприятия на производство определенного количества каждого вида продукции. Группа делится на три команды, каждая из которых получает индивидуальное задание.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Контрольная работа по модулю 1 по темам «Элементы теории множеств», «Матрицы», «Определители», «Системы линейных уравнений», «Метод Жордана-Гаусса», «МЖИ».	ОПК-3 ПК-4
20	20	Модуль 2 «Линейные пространства и квадратичные формы. Аналитическая геометрия»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.1 «Векторные пространства». Линейные операции над п-мерными векторами. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис пространства Rn.  Разложение вектора по базису.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.1 «Векторные пространства». Матрица перехода. Нахождение координат вектора в заданном базисе двумя способами: разложением по базису и с помощью матрицы перехода. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.2 «Евклидово пространство». Нахождение скалярного произведения векторов пространства Rn. Нахождение нормы векторов, угла между векторами. Построение ортогональной системы векторов и ортонормированного базиса.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.3 «Линейные операторы». Матричный оператор (по заданной матрице построить матричный оператор; для заданного матричного оператора выписать его матрицу). Нахождение матрицы линейного оператора двумя способами; 1) на основании определения линейного оператора; 2) на основании теоремы об изменении матрицы оператора при переходе к новому базису	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.4 «Собственные значения и собственные векторы линейного оператора». Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора, заданного матрицей.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.5 «Квадратичные формы». Запись квадратичной формы в матричном виде. Исследование квадратичных форм на знакоопределенность с помощью метода собственных векторов и критерия Сильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.6 «Аналитическая геометрия: гиперплоскость в R3». Составление уравнения гиперплоскости, проходящей через точку параллельно данной гиперплоскости. Составление уравнения гиперплоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярно данной гиперплоскости. Нахождение угла между двумя гиперплоскостями.  Расстояние от точки до гиперплоскости. Уравнение гиперплоскости, проходящей через три точки.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.7 «Аналитическая геометрия: прямая в R3». Перевод общих уравнений прямой в R3 в параметрические, канонические уравнения, в уравнение прямой через две точки. Угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Тема 2.7 «Аналитическая геометрия: прямая в R2». Составление уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно и перпендикулярно данной прямой. Координаты середины отрезка. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя точками. Нахождение для треугольника, заданного своими вершинами, уравнений сторон треугольника, уравнения высоты треугольника, нахождение ее длины. Составлений уравнений медианы, средней линии треугольника. Нахождение углов треугольника	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.8 «Кривые второго порядка» Нахождение фокуса, уравнения параболы с вершиной в начале координат и проходящей через данную точку симметрично относительно оси Ох.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Контрольная работа по модулю 2 по темам: «Векторные пространства», «Собственные значения и собственные векторы линейного оператора», «Квадратичные формы». «Прямая и плоскость в R2 и R3», «Кривые второго порядка».	ОПК-3 ПК-4

Аудиторные занятия – заочная форма обучения