Анализ производственной функции Кобба-Дугласа для экономик России и ряда стран региона ЦВЕ (стр. 1 )

УДК 330.4

,  доктор экономических наук, доцент кафедры общей экономической теории и истории экономической мысли Санкт-петербургского государственного экономического университета (e-mail: *****@***ru)

, аспирант кафедры общей экономической теории и истории экономической мысли Санкт-петербургского государственного экономического университета (e-mail: id. *****@***ru)

АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА ДЛЯ ЭКОНОМИК РОССИИ И РЯДА СТРАН РЕГИОНА ЦВЕ

Аннотация. В статье обоснована целесообразность использования производственной функции Кобба-Дугласа для целей макроэкономического анализа по выявлению вклада основных факторов  в объём национального производства. Рассчитаны с помощью регрессионного анализа производственные функции для отечественной экономики и ряда стран ЦВЕ, обоснована достоверность предложенных функций, проведен их сопоставительный анализ, осуществлена группировка исследуемых стран по типу производственных функций. В ходе проведенного анализа выявлены некоторые ограничения по применению производственной функции  Кобба-Дугласа для анализа на макроуровне.

Ключевые слова: производственная функция Кобба-Дугласа, критерии достоверности функции, факторы производства, технологический коэффициент, показатели средней и предельной эффективности ресурсов.

S. N. Pshenichnikova,  doctor of economic Sciences, associate Professor of The Department of General economic theory and the history of economic thought of the Saint-Petersburg State University of Economics (e-mail: *****@***ru)

, postgraduate of The Department of General economic theory and the history of economic thought of the Saint-Petersburg State University of Economics  (e-mail: id. *****@***ru)

ANALYSIS OF COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION

FOR THE ECONOMIES OF RUSSIA AND SEVERAL COUNTRIES OF THE CEE REGION

Abstract. In the article the feasibility of use of the Cobb-Douglas production function is justified for the purposes of macroeconomic analysis in case of identifying the contribution of major factors in national output. Production function are calculated for the domestic economy and a number of CEE countries using regression analysis; the validity of the proposed functions is justified; their comparative analysis is carried out; grouping of the surveyed countries are carried out by type of production functions. In the course of the analysis some limitations are revealed on the application of the Cobb-Douglas production function to analyze at the macro level.

Keywords: Cobb-Douglas production function, the criteria of reliability functions, factors of production, technological factor, average and marginal efficiency of resources.

Модель Кобба-Дугласа представляет собой неоклассическую двухфакторную модель производственной функции, с помощью которой раскрывается влияние труда (N) и капитала (К) на объём производства. Согласно данной концепции эти факторы взаимозаменяемые и взаимодополняемые, а исследуемый период является долгосрочным. Еще в 1928 году американские ученые – экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб – создали модель производственной функции, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в объём производства в обрабатывающей промышленности США. Эта функция имеет следующий вид: Y= АКбNв, где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет); K, N – капитал и труд; б, в – коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба-Дугласа можно выделить: 1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда б+в=1; 2) непропорционально возрастающую, когда б+в>1; 3) убывающую б+в<1.

Одним из наиболее популярных методов математической статистики для анализа и прогнозирования экономических процессов является регрессионный анализ. Его целью является вывод линии регрессии на основе множества точек (статистических данных), который наилучшим образом будет отражать взаимосвязь между зависимой переменной (Y) и независимыми (K, N).

Достаточно распространенным способом оценки параметров функции Кобба-Дугласа является метод наименьших квадратов (МНК). Сущность МНК заключается в минимизации суммы квадратов отклонений реально наблюдаемых значений ВВП от их оценок, полученных с помощью линии регрессии. Метод наименьших квадратов применяется к уравнению линейной регрессии, связывающему логарифмы исходных данных. Приведем функцию Кобба-Дугласа к линейному виду с помощью логарифмирования [2]: Для удобства произведем замену переменных: .

Сущность МНК заключается в составлении линейного уравнения, которое будет максимально соответствовать набору имеющихся данных, путем нахождения значений коэффициентов в уравнении прямой. Целью метода наименьших квадратов является минимизации среднеквадратичного отклонения между значениями Y и Yрасч  функции Y= АКбNв.

Для оценки модели производственной функции, полученной на основе МНК, используются следующие показатели:

1. R2 – коэффициент детерминации, характеризующий долю дисперсии зависимой переменной. По результатам сравнения фактического значения Y’ и Y’расч., полученных из уравнения прямой, вычисляется R2 (0<R2<1). Считается, что регрессионная модель успешна, если R2> 0,8.

2. Скорректированный R2. Данный параметр используется для того, чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом факторов. Поскольку значение R2 увеличивается от добавления в модель новых переменных, скорректированный R2 необходим, чтобы снизить влияние числа факторов на статистику.

3. F-статистика. Используется для определения того, является ли случайной наблюдаемая взаимосвязь между зависимой и независимой переменными.

4. Критическое значение F-распределения (статистики) используется для оценки статистической значимости регрессии. Обычно вычисляется при уровне значимости 0,05 [2].

На основе последних двух показателей проводится F-тест (критерий Фишера), который определяет уровень надежности модели. F-тест проводится путем сравнения значения F-статистики с критическим значением соответствующего распределения Фишера при заданном уровне значимости.

В данном исследовании все показатели будут вычислены с помощью MS Excel. Построение производственной функции заключается в нахождении неизвестных параметров A, α, β на основе известных статистических данных. Алгоритм построения производственной функции и ее оценки будет включать следующие операции:

1. Линеаризация функции Кобба-Дугласа, в том числе вычисление логарифмов показателей объема национального производства (Y), основных фондов (K), численности занятых в экономике (N) и осуществление замен: lnY=Y', lnK=K' и lnN=N', lnA=A'.

2. С помощью встроенной функции MS Excel “ЛИНЕЙН”, которая рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, определение неизвестных коэффициентов линейного уравнения  A', α, β; коэффициентов детерминации R2; F-статистику.

3. Проведение обратной замены: A= Epx A'.

4. С помощью функции “FРАСПОБР” вычислить критическое значение F-распределения с уровнем значимости 0,01.

5. Сравнить значение F-статистики с критическим значением и сделать вывод о надёжности полученной модели. В случае, если значение F-статистики больше, чем критическое, то между объемом производства и факторами производства существует связь, регрессия признается значимой.

6. Вычислить значение объема национального производства на основе полученных ранее параметров A, α, β и сравнить эти значения с фактическим объемом производства, построив график.

Для построения производственных функций были собраны статистические данные по объему ВВП, стоимости основных фондов и численности занятых в России и ряде стран ЦВЕ за период 1991-2015  гг.

ВВП (GrossDomesticProduct–GDP) представляет собой рыночную стоимость всех конечных товаров и услуг, произведённых за год во всех отраслях экономики на территории определенной страны для потребления, экспорта и накопления, вне зависимости от национальной принадлежности использованных факторов производства. В качестве капитала был взят показатель валового накопления капитала (GrossCapitalFormation – GCF), который включает в себя затраты на накопление основного капитала, изменение запасов материальных оборотных средств, а также приобретение ценностей за вычетом их выбытия. В качестве фактора труда  была взята численность занятых (рабочая сила) за исследуемый период.

Далее будет проведен подробный анализ производственной функции, полученной для России за период 1991-2015 гг., в том числе будут проанализированы параметры A, α, β, полученные в результате вычислений с помощью функции “ЛИНЕЙН” и дана оценка производственным функциям на основе показателей статистической регрессии. Все показатели для стран ЦВЕ будут рассчитаны аналогичным образом. По результатам всех вычислений будет приведена сводная таблица параметров A, α, β, которая позволит объединить страны в группы и сделать соответствующие выводы.

В таблице 1 приведены исходные данные по объему ВВП, основных фондов, численности занятых в российской экономике за период 1991-2015 гг., которые необходимы для линеаризации модели.

Таблица 1 – Объём ВВП, капитала и численность занятых в России за период 1991-2015 гг.  [7]

Год	Y (ВВП, $)	K (Капитал, $)	N (Численность занятых, чел.)
1991	517963000000	187851851851,85	66678978,23
1992	460291000000	159322033898,31	70991902,97
1993	435084000000	117503805175,04	68489620,5
1994	395077000000	100892683873,47	64697513,43
1995	395531000000	100620223723,56	63925170,01
1996	391720000000	92711097237,40	63013907,38
1997	404927000000	88988764044,94	60309278,13
1998	270953000000	40546110252,45	58616577,05
1999	195906000000	29053614947,20	62902196,77
2000	259708000000	48549591183,79	64973259,77
2001	306603000000	67298594446,35	64896074,80
2002	345110000000	69196609250,40	66579096,79
2003	430348000000	89766062817,67	67658925,75
2004	591017000000	123530024297,12	68842064,50
2005	764017000000	153395511306,59	69936888,27
2006	989931000000	209584053547,13	70218569,26
2007	1299710000000	314067581936,45	72018066,14
2008	1660840000000	423536086331,98	72249979,97
2009	1222640000000	231402250759,29	70552659,76
2010	1524920000000	344860682181,56	70950276,40
2011	2031770000000	469060645168,17	71953710,63
2012	2170140000000	497856159612,51	72685656,45
2013	2230630000000	471351958252,10	72359743,18
2014	2063660000000	458974019649,13	72390571,58
2015	1365870000000	305592683123,20	71911164,90

Из представленных данных видно, что численность занятых за рассматриваемый период практически не изменялась, а объем ВВП и объем капитала изменялись идентично. В целом за период 1991-2015  гг.  ВВП России в среднем увеличился практически в 2,6 раза: 517, 9 млрд.  долл. в 1991 г., 1 365,8  млрд. долл. в 2015 г. Спад 1990-х годов обусловлен распадом Советского Союза в 1991 г. и был характерен для всех стран ЦВЕ. С 2000 г. страна начинает выходить из кризиса за счет ряда реформ, наблюдается рост ВВП, который достигает пика в 2013 г. со значением 2 230,6 млрд. долл. Также можно наблюдать, что даже в кризисные 2007-2008 гг. темп роста ВВП России был выше по сравнению с предыдущими 2005-2006 годами.