=>точки экстремума
точки минимума
Найти значения функции в точках экстремума – это экстремумы функции. Записать требуемый результат исследования функции.Найти точки экстремума функции
.
Решение
Область определениях2≠ 0
х ≠ 0.
D (y) = (-∞; 0) ∪ (0; ∞).
Найдем критические точки f '(х) = 0 
х = 2 – точка min, т. к. при переходе через точку х = 2, производная поменяла знак с «-» на «+»
Ответ: 2.
Найти точки экстремума функции f(x) = x2 · ex. Если их несколько, найти их сумму.
Решение.
D(f) = R. f '(х) = (х2)'·ех + х2· (ех)' = 2х · ех + х2ех = х· ех(2 + х). Найдем критические точки f '(х) = 0.х · ех (2 + х) = 0, ех ≠ 0.
х = 0 или 2 + х = 0
х = -2.
0 ∊D(f)и -2 ∊D(f)и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими
Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.
f '(х) = х· ех (2 + х)
точки экстремума
х = 0 – точка min
-2 + 0 = -2.
Ответ: -2.
Найти точки экстремума функции 
. Если их несколько, найти их сумму.
Решение.
Найдем область определения.х ≠ 0
D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; ∞).
Найдем критические точки f '(х) = 0. 
- экстремум функции. Ответ: 3.
Уравнение касательной к графику функции
у = kx + b – прямая.
k = f'(х0) = tgб
Уравнение касательной имеет вид
y = f (x0) + f' (x0) · (x – x0), где х0– абсцисса точки касания.
f (x0) f ' (x) f' (x0)
Уравнение привести к виду y = kx + b
Составить уравнение касательной к графику функции у = х2 – 2х в точке с абсциссой х0 = 3.
Решение.
Уравнение касательной имеет вид:
y = f (x0) + f ' (x0) · (x – x0).
f (x0) = f(3) = 32 – 2 · 3 = 9 – 6 = 3.
f '(x) = 2х – 2; f '(x0) = f '(3) = 2 · 3 – 2 = 4.
у = 3 + 4 (х – 3)
у = 3 + 4х – 12.
у = 4х – 9.
Ответ:у = 4х – 9.
Дана кривая у = - х2 + 1. Найти точку ее графика, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.Решение.
Так как касательная параллельная прямой у = 2х + 3, то их угловые коэффициенты равны, т. е.k = y'(х0) = 2.
y'(х) = -2 х.
Пусть х0 – абсцисса точки касания, тогда y'(х0) = -2 х0, поэтому -2 х0 = 2, х0 = -1,
аy0 = f(-1) = -(-1)2 + 1= 0.
Итак, (-1; 0) – искомая точка.
Ответ: (-1; 0).
На параболе у = х2 – 2х – 8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х + у + 4 = 0.
Решение.
Определим угловой коэффициент касательной к параболе у = х2 – 2х – 8:у' = 2х – 2.
Найдем угловой коэффициент прямой 4х + у + 4 = 0: у = -4х – 4, k = -4.
Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны 2х – 2 = -4, 2х = -2, х = -1.
Найдем ординату точки М:у (-1) = (-1)2 – 2 · (-1) -8 = 1 + 2 – 8 = -5.
М (-1; -5)
Ответ: М (-1; -5).
Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у = х2 – х – 12, образует с осью ОХ угол 45°.
Решение.
Найдем тангенс угла наклона касательной, проведенной в искомой точке, к оси ОХ:
tgб = y' (x) = 2x – 1, т. к. б = 45°, то tg 45° = 2x – 1,
1 = 2х – 1
2х = 2
х = 1.
Определим ординату искомой точки: у (1) = 12 – 1 – 12 = -12.
Искомая точка (1; -12).
Ответ: (1; -12).
В какой точке кривой
, касательная наклонена к оси абсцисс под углом 60°? Решение.
Находим у'(х).
Т. к. по условию у'(х) = k = tg 60°, то
Возведем обе части уравнения в степень 
, тогда 
Найдем ординату точки касания:
. Итак, искомая точка 
.
Ответ:
.
Найти угол между прямой х = 3 и параболой у = х2.
Решение.
Углом между прямой и кривой называется угол между этой прямой и касательной к кривой в точке их пересечения.
ДАВС прямоугольный (
), тогда 
, значит ц = 90° - б или 
. Найдем у' (х) = 2х. Т. к. tgб = y' (3) = 2 · 3 = 6, то б = arctg 6. Следовательно, 
Ответ: 
Найти, под каким углом ось ОХ пересекает параболу у = х2 + х.
Решение.
Найдем точки пересечения параболы у = х2 + х сосью ОХ. Для этого следует решить систему уравнений
x2 + x= 0
x (x + 1) = 0
x = 0 или x + 1 = 0, x= -1.
Значит парабола пересекает ось ОХ в точках
(-1; 0) и (0; 0).
у' = (х2 + х)' = 2х + 1
k1 = y' (-1) = 2 ·(-1) + 1 = -1 k2 = y' (0) = 2 · 0 + 1 = 1
k = tgб, tgб1 = -1 tgб2 = 1
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
