Алгоритмы решения задач с применением производной (стр. 1 )

Алгоритмы  решения задач с применением производной

В 11 классе с помощью производной мы находим мгновенную скорость и ускорение точки; строим касательную к графику функции; находим критические точки; промежутки возрастания, убывания и постоянства функции; точки экстремума; экстремумы функции; используем производную для исследования функции и построения ее графика; для решения «экстремальных задач»; для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

Почти все типы задач решаю с учащимися с помощью алгоритмов.

Критические точки

Определение. Критические точки – это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

Алгоритм нахождения критических точек функции.

Найти область определения функции. Найти производную функции. Решить уравнение f '(х) = 0. Выяснить, являются ли корни уравнения f '(х) = 0 внутренними точками определения функции. Сделать вывод.

Учащиеся очень часто не обращают внимания на слова «внутренние точки области определения», поэтому при изучении данной темы, на уроке рассматриваю три функции, для которых находим критические точки.

Найти критические точки функций.

а)                        б)                в)        .

а)        

Решение.

Область определения функции

x ≠ 0        D (y) = (-∞; 0) ⋃ (0; ∞).

. Решим уравнение у'(х) = 0.

4 ∊D(у) и -4 ∊D(у) и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими. у'(х) не существует при х = 0, но 0 ∉ D(у), значит х = 0 не является критической точкой.

Ответ: ± 4.

б)        

Решение.

Найдем область определения функции

100 – х2≥ 0

х2-100 ≤ 0

(х – 10)(х + 10) ≤ 0

D (y)=[-10; 10]

0∊D(у)и является внутренней точкой области определения. у'(х) не существует при х = ±10, -10 D(у),и 10 D(у), но они не являються внутренними точками области определения, значит не являются критическими.

Ответ: 0.

в)        

Решение.

Область определения функции

D (y) =R.

=0

Точек, в которых производная равна нулю, не существует.

Производная не существует при ,  х + 8 = 0;  х = -8.

-8∊D(у)и является внутренней точкой области определения, значит является критической.

Ответ: -8.

При построении графиков функций, очень важно находить промежутки возрастания, убывания функции (промежутки монотонности, а также точки экстремума и экстремумы функции.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна. Найти производную функции. Найти критические точки: f '(х) = 0. Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов. (Если на рассматриваемом интервале
f '(х)> 0, то функция возрастает, а если f '(х)< 0, то функция убывает).

Найти промежутки возрастания и убывания функции

Решение.

Область определения

D (y) =R. Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Найдем критические точки у'(х) = 0.

x1 = 3;        x2 = -2.

Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.

у'(х) = х3 – х2 – 6х

у' (-3) = (-3)3 – (-3)2 – 6(-3) = -27 – 9 + 18 = -18 < 0.

у' (-1) = (-1)3 – (-1)2 – 6(-1) = -1 – 1 + 6 = 4 > 0.

у' (1) = 13 – 12 – 6 · 1 = -6 < 0.

у' (4) = 43 – 42 – 6 · 4 = 64 – 16 - 24 = 24 > 0.

Функция возрастает при х∊ (- ∞; -2] ∪ [0; 3].

Ответ;  Функция возрастает при х∊ (- 2; 0] ∪ [3; ∞] и убывает при х∊ (-∞;-2] ∪ [0;3].

Найти промежутки монотонности функции

Решение.

Область определения

х + 2 ≠ 0

х ≠ -2

D (y) = (-∞; -2) ∪ (-2; ∞).

Функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Найдем критические точки у'(х) = 0.

2 ∊ D (y) и -6 ∊ D (y) и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими, у' (х) не существует при х = -2, но -2 ∉D (y), значит не является критической.

Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.

Функция возрастает при х∊ [-6; -2) ∪ (-2; 2 ].

Ответ: функция возрастает при х ∊ (-∞; -6] ∪ [2; ∞) и убывает при
х∊ [-6; -2) ∪ (-2; 2 ].

Необходимое условие экстремума

В точках экстремума, производная функции равна нулю или не существует. Но не в каждой точке х0, где f '(х0) = 0 или f '(х0) не существует. Но не в каждой точке х0, где f '(х0) =0 или f '(х0) не существует, будет экстремум.

Достаточное условие экстремума

Если функция f (х) непрерывна в точке х0 и производная f '(х) = меняет знак в точке х0, то х0 – точка экстремума функции f '(х).

Если в точке х0 знак f '(х) меняется с «+» на «-», то х0 – точка максимума.

Если в точке х0 знак f '(х) меняется с «-» на «+», то х0 – точка минимума.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. А значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума и экстремумов функций

Найти область определения. Найти производную функции Найти критические точки Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

точки максимума