Найдем критические точки fґ(x) = 0.

(x – 1)(x + 1) = 0

x = 1        x = -1

x = 1 – точка мах.

, тогда в силу нечетности функции

Значит , что и требовалось доказать.

Исследование функции с помощью производной

и построение графика функции.

Схема исследования функции с помощью  производной.

Найти область определения функции. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность. Найти производную функции. Найти критические точки. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума и экстремумы функции. Найти асимптоты графика функции. Построить график функции.

Пример. Исследуйте функцию и постройте ее график у = 3х5 – 5х3

Решение.

D (y) = R, функция непрерывна в каждой точке своей области определения. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

На оси ОХ        у = 0

                       3х5 – 5х3 = 0

                       х3 (3х2 – 5) = 0

                       х3 = 0 или        3х2 – 5 = 0

                                       3х2 = 5

                                       

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

                       х = 0                

(0; 0), – точки пересечения с осью ОХ.

На оси ОУ  х = 0

у(0) = 3 ∙05 - 5∙ 03 = 0,  (0;  0)

Непериодична.

D (y) = R – симметрична относительно нуля.

у (-х) = 3 ∙ (-х)5 - 5 ∙ (-х)3 = -3х5 + 5х3 = -(3х5 + 5х3) = - у (х), значит функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

уґ(х) = (3х5 – 5х3)ґ = 3 ∙ 5х4 – 5 ∙ 3х2 = 15х4 – 15х2 = 15х2(х2– 1).

5)        Найдем критические точки: у' (х) = 0

15х2 (х2 – 1) = 0

х2 = 0        или        х2 – 1 = 0

х = 0                (х – 1)(х + 1) = 0

               х = 1        х = -1

0 ∊D(y),  -1 ∊ D(y),  1 ∊ D(y)  и являются внутренними точками области определения, значит являются критическими.

6)        Отметим критические точки на области определения и определим знак производной на каждом из полученных интервалов.

у'(х) = 15х2 (х2 – 1)

у'(-2) = 15(-2)2 ((-2)2 – 1) = 15 · 4 · 3 >0

Функция возрастает при х∊ (-∞; -1] ∪ [1; ∞) и убывает при х∊[-1; 0]∪[0; 1] = [-1; 1]

x = -1 – точка мах

точки экстремума

х = 1 – точка min

умах = у(-1) = 3 · (-1)5 - 5·(-1)3 = -3 + 5 = 2

умin = у(1) = 3 · 15 - 5·13 = 3 – 5 = -2

Найдем асимптоты

а)        вертикальных асимптот нет

б)        горизонтальные

горизонтальных асимптот нет.

в)        наклонные где

Наклонных асимптот нет.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5