Алгоритмы решения задач с применением производной (стр. 4 )

у = 8 – 2 (х – 4)

у = 8 – 2х + 8

у = -2х + 16.

Данная касательная пересекает ось OYв точке В

х = 0, у = 16,  В (0; 16).

ТочкаС – точка пересечения касательных.

СК ⊥ АВ, СК – высота ДАВС.

Найдем абсциссу точки пересечения касательных

4x + 1 = -2x + 16

4x + 2x = 16 – 1

6x = 15

Ответ: 18,75

Решение экстремальных задач

Алгоритм решения текстовых задач на определение наименьшего и наибольшего значения с помощью производной

Ввести переменную х. Определить промежуток изменения х, исходя из реального условия задачи. Составить формулу для функции от х, наименьшее или наибольшее значение которой требуется определить. Найти производную функции. Вычислить критические точки функции. Выбрать те критические точки, которые принадлежат промежутку для х. Вычислить значения функции в критических точках, лежащих внутри промежутка и на его концах. Установить вид экстремума в критических точках внутри промежутка с помощью достаточного условия экстремума. Из всех полученных чисел выбрать наибольшее или наименьшее. Записать ответ.

Задача 1.  Вычислить длину сторон прямоугольника, периметр которого 48 см., имеющего наибольшую площадь.

Решение.

  В                                 С

Р = 2 (АВ + АD)

48 = 2(AB + AD)

AB + AD = 24

А                                D

Пусть АВ = х см, тогда АD = (24 – х) см.

Исходя из условия задачи  х ϵ (0; 24).

Составим функцию площади прямоугольника, наибольшее значение которой необходимо найти.

S (x) = x∙(24 – x)

S (x) = 24x – x2

Найдем критические точки функции S (x) = 24x – x2

Sґ (x) = (24x – x2)ґ = 24 – 2х

Sґ (x) = 0

24 – 2х = 0

2х = 24

х = 12 ϵ (0; 24)

Определим вид экстремума в критической точке х = 12

Sґ (x) =  24 – 2х

Sґ (1) = 24 – 2 ∙1 = 22 > 0

Sґ (13) =  24 – 2 ∙ 13 = 24 – 26 = -2 < 0.

х = 12 – точка мах

S (0) = 0 ∙(24 – 0) = 0

S (24) = 24 ∙(24 – 24) = 0

S (12) = 12 ∙(24 – 12) = 12 ∙12 = 144.

Наибольшее значение площади прямоугольника при х = 12 см., значит

АВ = CD = 12 (см), а

AD = BC = 24 – 12 = 12 (см)

т. е. АВСD – квадрат со стороной 12 см.

Ответ: квадрат со стороной 12 см.

Задача 2. Забором длиной ℓ требуется огородить наибольшую по площади прямоугольную площадку, примыкающую к реке. Каковы должны быть размеры прямоугольника, если со стороны реки забор не установлен.

Решение.

АВ + AD + CD = ℓ.

Пусть АВ = CD = х см, тогда АD = ℓ - 2х.

Исходя из условия задачи хϵ (0; ℓ).

Составим формулу площади прямоугольника, наибольшее значение которой нужно найти.

S (x) = x∙ (ℓ - 2х).

S (x) = ℓx– 2х2.

Sґ(x) = (ℓx– 2х2)ґ=ℓ - 4х.

Найдем критические точки функции Sґ(x) = 0.

ℓ - 4х = 0

4х = ℓ

Установим вид экстремума в критической точке

Sґ(x) = ℓ - 4х

– точка мах.

S (0) = 0 (

S (ℓ) = ℓ∙(ℓ - 2ℓ) = -ℓ2.

Наибольшую площадь прямоугольная площадка имеет при , значит АВ = СD = , а .

Ответ:

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке

Если функция f (x)  непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает свое наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке или в критических  точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции,

непрерывной на отрезке

Найти область определения функции и проверить принадлежит ли отрезок области определения. Найти производную fґ(x). Найти критические точки. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Решение.

Область определения

Найдем критические точки yґ(x) = 0.

Вычислим значения функции в критической точке х = -2 и на концах отрезка [-3;0]

max y(x) = y (-2) = -4

[-3; 0 ]

miny(x) = y (0) = -8

[-3; 0 ]

Ответ: -4; -8.

Применение производной при решении уравнений,

неравенств, доказательстве тождеств.

При этом будем использовать следующие свойства функций:

Если непрерывная функция f(x) возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня. Если fґ(x) = 0 на некотором промежутке, то f(x) =const на этом промежутке.

Пример 1.        Докажите, что уравнение не имеет корней.

Решение.

Рассмотрим функцию /

Область определения функции х – 2 ≥ 0, х ≥ 2.

Следовательно, f (x) ≥ f (2) = 3 и уравнение f (x) = 2 решений не имеет.

Пример 2.        Докажите неравенство .

Доказательство.

Перепишем данное неравенство в виде

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на (- ∞; ∞)