Элементы линейной алгебры (стр. 2 )

Свойства бесконечно больших величин:

1.  Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2.  Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3.  Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке х0, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Теорема. Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при x → x0 (x → ∞), то функция f(x) = является бесконечно большой при x → x0 (x → ∞), и наоборот.

Основные теоремы о пределаx.

Признаки существования предела

Пусть f(х) и φ(х) - функции, для которых существуют пределы при x → x0 (или при x→∞): f(x) = А, φ(x) = В.

Основные теоремы о пределах:

1.  Функция не может иметь более одного предела.

2.  Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е.

f(x) + φ(x) = А + В.

3.  Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т. е.

f(x)φ(x) = АВ.

4.  Предел частного двух функций равен частному пределу этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т. е.

= (В ≠ 0).

5.  Если f(u) = А, φ(x) = u0, то предел сложной функции

f φ(x) = А.

6.  Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших х) f(x) < φ(x), то

f (x) φ(x).

Признаки существования предела.

Теорема 1. Если числовая последовательность {аn} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших значениях х) функция f(x) заключена между двумя функциями φ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел А при x → x0, (или x→ ∞), то функция f(x) имеет тот же предел А.

φ(x) = А, ψ(x) = А.

Второй замечательный предел.

Рассмотрим числовую последовательность аn = . Если вычислять значения членов последовательности, то получим а1 = 2,0, a2 = 2, 25, a3 = 2, 37, a4 = 2, 441, a5 = 2, 448, …… и можно предположить, что последовательность {аn} является возрастающей. Действительно, воспользуемся формулой бинома Ньютона:

или

С ростом n увеличивается как число положительных слагаемых (их в формуле n + 1), так и величина каждого слагаемого, т. е. а1 < а2 <…..< аn <…..

Последовательность {аn} является ограниченной.

Определение. Число е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности

е = .

Выше мы фактически установили, что 2 < е < 3. Более точно e ≈ 2,718281…, т. е. число е - иррациональное число.

Можно показать, что функция при х → +∞ и при х → -∞ (где х в отличие от натурального числа n "пробегает" все значения числовой оси - не только целые) имеет предел, равный числе е:

е = .

Полагая , найдем ; при х → ∞ у → 0.

В результате получается еще одна запись числа е:

.

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1.  Функция определена в точке х0 (т. е. существует f(x0));

2.  Имеет конечный предел функции при х → х0;

3.  Этот предел равен значению функции в точке х0, т. е.

f(x) = f(x0) .

Определение 2. Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в даyной точке не является непрерывной.

Точка разрыва является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х → х0, не равные друг другу.

Точка разрыва является точкой разрыва второго рода, если xотя бы один из односторонниx пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1.  Если функции f(х) и φ(х) непрерывны в точке х0, то иx сумма, произведение и частное (при условии φ(х0) ≠ 0), являются функциями, непрерывными в точке х0.

2.  Если функция y = f(х) непрерывна в точке х0 и f(х0) > 0, то существует такая окрестность точки х0, в которой f(x) > 0.

3.  Если функция y = f(u) непрерывна в точке u0, а функция u = φ(x) непрерывна в точке u0 = φ(x0), то сложная функция y = f φ(x) непрерывна в точке х0.

Свойство 3 может быть записано в виде

f φ(x) = f f φ(x) ,

т. е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1.  Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке а, b , то она ограничена на этом отрезке.

2.  Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке а, b , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

3.  Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке а, b и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка ξ є (а, b) такая, что f(ξ) = 0.

Раскрытие некоторых видов неопределённостей.

Для раскрытия неопределённости вида :

а) Можно сократить дробь на множитель, который обращает функцию в нуль;

б) Если есть иррациональность в числителе или в знаменателе, то и числитель, и знаменатель домножают на сопряженное выражение;

в) Удобно предварительно сделать замену.

Для раскрытия неопределённости :

а) Если в числителе и знаменателе многочлены каких-либо степеней, то для раскрытия неопределённости делим и числитель, и знаменатель на х в наибольшей степени;

б) Если наибольшая степень числителя равна наибольшей степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях;

в) Если наибольшая степень числителя меньше наибольшей степени знаменателя, то предел будет равен нулю;

г) Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

Для неопределённости 10:

а) Для такого рода неопределённости всегда используется второй замечательный предел.

ПРОИЗВОДНАЯ

Задачи, приводящиеся к понятию производной

1. Задача о касательной. Путь на плоскости Оxy дана непрерывная кривая y = f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке М0 (х0, у0).

Решение: Дадим аргументу х0 приращение Δx и перейдем на кривой у = f(х) от точки М0 (х0; f(х0)) к точке М1 (x0 + Δx; f(х0 + Δх)). Проведём секущую М0; М1.

Под касательной к кривой y = f(x) в точке М0 естественно понимать предельное положение секущей М0 М1 при приближении точки М1 к точке М0, т. е. при Δx0.

F(x0+Δx) M

F(x0) M0

 

α φ

х0 х0 + Δх

Уравнение прямой, проходящей через точку М0, в соответствии имеет вид

y - f(х0) = k(х - х0).

Угловой коэффициент (или тангенс угла φ наклона) секущей kM1M0 может быть найден из ΔМ0М1N : kМ0M1 = tg φ = . Тогда угловой коэффициент касательной

k = = .

2. Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону S = S(t), где S - пройденный путь, t - время, и необходимо найти скорость точки в момент t0.

К моменту времени t0 пройденный путь составит S0 = S(t0), а к моменту (t0+Δt) - путь S0 + ΔS = S(t0 + Δt).

ΔS

S(t)

t0 t0 + Δt

Δt

Тогда за промежуток Δt средняя скорость будет vср = . Чем меньше Δt, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0, Поэтому под скоростью точки в момент t0 естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 + Δt, когда Δt 0, т. е.

v = vср = .

Определение производной.

Уравнение касательной.

Дифференцируемость функции.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Определение. Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю (если этот предел существует):

у' = = .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью. Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке хo, то она в этой точке непрерывна.

Обратное не всегда верно.

Основные правила дифференцирования

Производная функции y = f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу х приращение Δх ≠ 0 и найдем наращенное значение функции

у + Δу = f(x + Δх).

2. Находим приращение функции Δy = f(х + Δх) – f(x).

3. Составляем отношение .

4.  Находим предел этого отношения при Δx → 0, т. е. у' = (если этот предел существует).

Правила дифференцирования.

1.  Производная постоянной равна нулю, т. е. с' = 0.

2.  Производная аргумента равна 1, т. е. х' = 1, (при n = 1).

3.  Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е.

(u +v)' = u' + v'.

4.  Производная произведения двух дифференцируемыx функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

(uv)' = u' v + uv'.

5.  Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

=

Теорема: Если y = f(u) и u = φ(x) - дифференцируемые функции от своиx аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т. е.

у' = f'(u)u'.

Производные основных элементарныx функций.

Показательная функция.

а) у = ех. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е, получим In у = х. Дифференцируя обе части по переменной х и учитывая, что Inу - сложная функция, получим

(In у)' = х' или = 1, откуда у' = 1, т. е.

(ех)' = ех и (еu)' = еu · u'.

Заметим, что кривая с учетом у = ех, называемая экспонентой, обладает отличающим только ее свойство: в каждой точке х ординаты кривой у = ех равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: ех = tgа.

б) у = ax.

у' = (ах)' = = (ех In а)' и по правилу дифференцирования сложной функции

у' = ех In а (х In а)' = ах · In а. Итак,

(ах)' = ах In а и (аu)' = аu In а · u'.

Степенная функция.

Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции у = xn для любого n. Действительно In у = nInх. Дифференцируя обе части равенства, получим

у' = п · , откуда у' = nу = nхn ·= nхn-1, т. е.

(хп)' = nхn-1 и (un)' = nun-1u'.

Степенно-показательная функция.

у = f(x) φ(x). Найдем In у = φ(x) In f(x). Дифференцируя, получим

= φ' (x) In f(x) + φ(x)= φ' (x) In f(x) +.

Учитывая, что у = f(x) φ(x) получим после преобразований

у' = φ(x) f(x) φ(x)-1 , f'(x) + f(x)φ(x) In f(x)φ' (x)

Производная логарифмической функции (Inу) = называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании. Логарифмическую производную (In у)' = называют также относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

Тригонометрические функции.

а) y = sin x. Воспользуемся схемой нахождения производной:

1.  у + Δу = sin (x + Δх).

2.  Δу = sin (x + Δх) - sin x = 2sin cos (х + ).

3.  = .

4.  у' = (учли первый замечательный предел и непрерывность функции cosх).

Итак, (sin x)' = cos х и (sin u)' = cos u · u'.

б) y = cos x.

(cos х)' = - sin х и (cos u') = -sin u · u'.

(доказательство аналогично п.а).

в) у = tg х.

, т. е.

(tgx)' = и (tg u)' = · u'.

г) у = ctg x.

(ctg x)' = - ; (ctg u)' = - .

(доказательство аналогично п. в).

д) у = arcsin x, где -1 ≤ х ≤ 1 и -π/2 ≤ у ≤ π/2.

Обратная функция имеет вид х = sin у, причем х'у = cos у ≠ 0, если -π/2 < у < π/2.

Используем правило дифференцирования обратной функции

у'х = .

При х = ±1 производной не существует.

Итак,

(arcsin x)' = и (arcsin u)' = · u' .

е) у = arccos x, у = arctg x, arcctg x.

(Вывод формул аналогичен п.д).

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у = f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функция в этой точке равна нулю, т. е. f'(х0) = 0.

F'(x0) = 0

 

хo

X

Теорема Ролля. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующие условиям:

1.  непрерывна на отрезке ;

2.  дифференцируема на интервале ;

3.  на концаx отрезка принимает равные значение, т. е. f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ є (а, b), в которой производная функция равна нулю: f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1.  непрерывная на отрезке ;

2.  дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ є (а, b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т. е.

f'(ξ) = .

Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малыx или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.