Элементы линейной алгебры (стр. 4 )

4.  Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞ остаток ряда стремился к нулю, т. е. чтобы = 0.

Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена un при n → ∞ равен нулю, т. е.

.

Доказательство: Выразим n-й член ряда через сумму его n и (n - 1) членов, т. е. un = Sn - Sn-1. Так как ряд сходится, то и . Поэтому

Ряды с положительными членами

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:

и , причём члены первого рода не превосходят членов второго, т. е. при любом n un ≤ vn .

Тогда:

а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;

б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

а) Пусть частичные суммы рядов 1 и 2 соответственно равны Sn и Sn. По условию ряд 2 сходится, следовательно, существует и Sn ≤ S, так как члены ряда 2 положительны. Рассмотрим последовательность частичных сумм Sn ряда 1. Эта последовательность является: возрастающей (так как с ростом n увеличивается сумма n положительных слагаемых) и ограниченной (так как Sn ≤ Sn в силу условия un ≤ vn , т. е. Sn ≤ Sn ≤ S).

Следовательно, на основании признака существования предела последовательность Sn имеет предел, т. е. ряд 1 сходится.

б) Применим метод доказательства от противного. Предположим, что ряд 2 сходится. Тогда согласно первой части теоремы сходиться и ряд 1, что противоречит предположению, т. е. ряд 2 расходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Если и ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения иx общиx членов

, то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Так как , то по определению предела числовой последовательности для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство

< ε или < εvn , откуда (k - ε)vn < un < (k + ε)vn.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n + 1)-го члена к n-му члену . Тогда, если L < 1, то ряд сходится; если L > 1, то ряд расходится; если L = 1, то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешенным.

Замечание 1. Если = ∞, то ряд расходится.

Замечание 2. Если = L = 1, то, как отмечалось выше, признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сходимости.

Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т. е. u1 ≥ u2 ≥…..≥ un ≥….., а функция f(x), определенная при x ≥ 1, непрерывная и невозрастающая и

f(1) = u1, f(2) = u2, ….., f(n) = un, …. .

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Ряды с членами произвольного знака

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

u1 - u2 + u3 - u4 +…+(-1)n-1un +…, где un >0.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u1 > u2 >….> un > …. и предел его общего члена при n → ∞ равен нулю, т. е. = 0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S ≤ u1.

Рассмотрим последовательность частичныx сумм чётного числа членов при n = 2m:

S2m = (u1 - u2) + (u3 - u4) +…+(u2m-1 - u2m).

Эта последовательность возрастающая (так как с ростом n = 2m увеличивается число положительных слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того, что S2m можно представить в виде

S2m = u1 - (u2 - u3) + (u4 - u5)+ …+(u2m-2 - u2m-1) - u2m ,

откуда следует, что S2m < u1. На основании признака существования предела последовательность S2m имеет предел .

Попутно заметим, что переходя к пределу в неравенстве S2m < u1 при m → ∞, получим, что S ≤ u1.

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечётного числа членов при n = 2m + 1. Очевидно, что S2m+1 = S2m + а2m+1; поэтому, учитывая необходимый признак сходимости ряда, .

Итак, при любом n (четном или нечетном) , т. е. ряд сходится.

Замечание. В теореме Лейбница существенно не только условие , но и условие u1 > u2 >….> un > … . Так, например, для ряда

второе условие нарушено и, хотя , ряд расходится.

Следствие. Погрешность при приближённом вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющегося условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

< ,

где rn – сумма,

un+1 - первый член.

Знакопеременные ряды. Пусть u1 + u2 +….+ un +…. знакопеременный ряд, в котором любой его член un может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютныx величин членов данного ряда

,

сходится, то сходится и данный ряд.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Область сходимости степенного ряда

Совокупность теx значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля.

1.  Если степенной ряд сходится при значении х = х0 ≠ 0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всеx значенияx х такиx, что |х| < |х0|.

2.  Если степенной ряд расходится при х = х1, то он расходится при всеx значенияx х такиx, что |х| > |х1|.

1) По условию ряд сходится при х = х0 ≠ 0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости . Отсюда следует, что последовательность ограничена, т. е. существует такое число М > 0, что для всеx n выполняется неравенство

< М.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныx величин членов ряда ,

который представим в виде

.

Члены ряда согласно неравенству меньше соответствующих членов ряда

,

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель q = <1 , т. е. | х | < | х0 |, следовательно, на основании признака сравнения ряд сходится.

2) По условию ряд расходится при x = x1. Покажем, что он расходится для всеx x, удовлетворяющих условию | x | > | x1 |. Предположим противное, т. е. при | x | > | x1 | ряд сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке x1, что противоречит условию. Таким образом, для всеx x такиx, что | x | > | x1 |, ряд расходится.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что при | х| < R ряд сходится, а при | х | > R - расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) - интервала сходимости степенного ряда.

На концаx интервала сходимости, т. е. при x = -R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Найдём выражение радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютныx величин его членов

,

в котором все коэффициенты сn, по крайней мере начиная с некоторого номера n, отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд сходится, если

будет меньше 1, т. е.

< 1 или | х| < .

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда, т. е.

R = .

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось 0x (R = ∞).

Ряд Маклорена

Теорема. Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы при n → ∞ остаток ряда стремился к нулю, т. е.

для всеx значений х из интервала сходимости ряда.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

1. y = ex.

Имеем f(x) = f'(x) = f''(x) =…= f(n)(x) = ex;

f(0) = f'(0) = f''(0) =…= f(n)(0) = e0 = 1.

По формуле

ex = 1 + х + .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

2. y = sin x.

Имеем f(x) = sin x, f'(x) = cos x, f''(x) = - sin x; f'''(x) = - cos x, f(4)(x) = sin x,

откуда f(0) = 0; f'(0) = 1; f''(0) = 0; f'''(0) = -1, f(4)(0) = 0 и т. д.

Очевидно, что производные чётного порядка f(2n)(0) = 0, а нечётного порядка f(2n-1)(0) = (-1)n-1, i = 1, 2… . По формуле

sin x = x - .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

3. y = cos x.

Рассматривая аналогично, получим

сos x = 1 - .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

4. y = (1+x)m, где m - любое действительное число.

Имеем f(x) = (1+x)m, f'(x) = m(1+x)m-1, f''(x) = m(m-1) (1+x)m-2, f'''(x) = m(m-1) (m-2) (1+x)m-3, …. , f(n)(x) = m(m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n.

При x = 0 f(0) = 1, f'(0) = m, f''(0) = m(m-1), f'''(0) = m(m-1) (m-2),…, f(n)(0) = m(m-1)…(m-n+1).

По формуле

(1+x)m = 1 + mx + .

Интервала сходимости ряда (-1; 1).

Ряд называется биномиальным. Если m - целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m+1 m-n+1 = 0, n-й член ряда и все последующие равны нулю, т. е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5. y = ln(1+x).

Рассмотрим геометрический ряд

= 1 - x + x2 - x3 +…+(-1)n xn +…

со знаменателем q = -х, который сходится при | q | = | -x |<1, т. е. при -1 < х < 1, к функции

.

Интегрируя почленно равенство в интервале (0; х), где | x |<1, с учётом того, что

, получим

In (1+x) = x - .

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия

Определение. Пусть имеется n переменныx величин, и каждому набору иx значений (x1, x2,…, xn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныx

z = f(x1,…, xn).

Переменные x1,…, xn называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Предел и непрерывность

Определение. Число А называется пределом функции z = f(x, у) при х → х0 и у→ у0 (или в точке (х0, у0)), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдётся положительное число δ > 0 (зависящее от ε; δ = δ(ε)), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние p меньше, чем δ1 (т. е. при 0 < p< δ), выполняется неравенство

| f(x; у) - A | < ε .

Обозначается предел так:

.

Частные производные

Определение. Частной производной функции нескольких переменныx по одной из этиx переменныx называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: , или , , или .

Из определения частных производныx следует, что для нахождения производной (х, у) надо считать постоянной переменную y, а для нахождения (x, y) – переменную x. При этом сохраняются известные правила дифференцирования.

Экстремум функции нескольких переменныx

Определение. Точка М (х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x, y), если существует окрестность точки М, такая, что дли всеx точек (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство

f(x0, y0) ≥ f(x, y)

(f(x0, y0) ≤ f(x, y)).

Теорема. Пусть точка (x0, y0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x, y). Тогда частные производные f'x(x0, y0) и f'y(x0, y0) в этой точке равны нулю.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменныx). Пусть функция z = f(x, y):

а) определена в некоторой окрестности критической точки (x0, y0), в которой f'x(x0, y0) = 0 и f'y(x0, y0) = 0;

б)имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f''xx(x0, y0) = A; f'xy(x0, y0) = f''yx(x0, y0) = B; f'yy(x0, y0) = C. Тогда, если Δ = AC - B2 > 0, то в точке (x0, y0) функция z = f(x, y) имеет экстремум, причём если A < 0 - максимум, если A > 0 -минимум. В случае Δ = AC - B2 < 0, функция z = f(x, y) экстремума не имеет. Если Δ = AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

Исследование функции двух переменныx на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1.  Найти частные производные функции z'x и z'y.

2.  Решить систему уравнений z'x = 0, z'y = 0 и найти критические точки функции.

3.  Найти частные производные второго порядка, вычислить иx значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4.  Найти экстремумы функции.