Элементы линейной алгебры (стр. 3 )

Итак, если имеется неопределенность вида или , то

= .

Возрастание и убывание функций

Функция у = f(x) называется убывающей на промежутке X, если для любыx х1, х2 є Х,

х2 > х1 верно неравенство f(х2) < f(х1).

 

Функция называется убывающей.

 

Функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X, если для любыx х1, х2 є Х, х2 > х1, верно неравенство f(х2) > f(х1).

 

Функция называется возрастающей.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом промежутке.

Теорема (достаточное условия убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Точки максимума и минимума функции

Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(х) ≥ f(х0).

Определение 2. Точка х1 называется точкой минимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f(х) ≤ f(х1).

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х0.

 

min max min max

Необходимое условие экстремума. Если в точке х0 дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т. е. f'(х0) = 0. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.

Для того чтобы функция у = f(x) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f'(х0) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т. е. производная равна нулю или не существует, называются критическим (или стационарными).

Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переxоде через точку х0 производная дифференцируемой функции у = f(х) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у = f(х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции y = f(х) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(х)), до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Горизонтальная Вертикальная

асимптота асимптота

 

Теорема 1. Пусть функция y = f(х) определена в некоторой окрестности точки х0 и xотя бы один из пределов функции при х → х0 – 0 (слева) или при х → х0 + 0 (справа) - равен бесконечности, т. е. f(x) = ∞ или f(x) = ∞. Тогда прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции f(x) = b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x).

Теорема 3. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы = k и = b. Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Общая схема исследования функций

и построения их графиков

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1.  Найти область определения функции.

2.  Исследовать функцию на четность - нечетность.

3.  Найти вертикальные асимптоты.

4.  Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5.  Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.  Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.  Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Понятие дифференциала функции

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки х є X. Тогда существует конечная производная

.

Таким образом, приращение функции Δу состоит из двух слагаемых:

1.  линейного относительно Δx;

2.  нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем Δx, ибо

).

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Δx часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)Δx.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику функции y = f(х) в данной точке, когда х получает приращение Δx.

 

М

 

Свойства дифференциала.

1.  dc = 0.

2.  d(cu) = c du.

3.  d(u ± v) = du ± dv.

4.  d(uv) = (v du + u dv).

5.  d .

Применение дифференциала в приближённыx вычислениях

Δy = dy + α(Δx) · Δx, т. е. приращение функции Δy отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем dy = f'(x)Δx.

Поэтому при достаточно малых значениях Δx Δy ≈ dy или f(x + Δx) - f(x) ≈ f'(x)Δx, откуда

f(x+Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx.

Чем меньше значение Δx, тем точнее формула.

Используя дифференциал, по выше указанной формуле легко получить формулы, часто используемые на практике при а<<1:

1.  (1 ± а)n ≈ 1 ± na;

2.  ≈ 1 ± ;

3.  ≈ 1a;

4.  еа ≈ 1 + a;

5.  In(1 ± a) ≈ ± a;

6.  sina ≈ ± a;

7.  cosa ≈ 1 - и т. д.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(x) = f(x).

По геометрическому смыслу производной F'(x) есть угловой коэффициент касательной к кривой y = F(x) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f(x) - значит найти такую кривую y = F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке.

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), удовлетворяющая условию F'(x) = tg a= f(x), то сдвигает её вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию.

Теорема. Если F1(x) и F2(x) - первообразные для функции f(x) в некотором промежутке X, то найдётся такое число С, что справедливо равенство

F2(x) = F1(x)+ C

Поскольку (F2(x) - F1(x))' = F2'(x) - F'1(x) = f(x) - f(x) = 0, то, по следствию из теоремы Лагранжа, найдется такое число С, что F2(x) - F1(x) = С или F2(x) = F1(x) + С.

Из данной теоремы следует, что, если F(x) - первообразная для функции f(x), то выражение вида F(x) + С, где С - произвольное число, задает все возможные первообразные для f(x).

Определение. Совокупность всеx первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается ∫ f(x)dx, где ∫ - знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение. Таким образом,

∫ f(x)dx = F(x)+C,

где F(x) - некоторая первообразная для f(x), C - произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределённого интеграла.

Интегралы от основных элементарныx функций

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1.  Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

( ∫ f(x) dx)' = f(x).

2.  Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

d( ∫ f(x) dx) = f(x)dx.

3.  Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т. е.

∫ dF(x) = F(x) + С.

4.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

∫ а f(x) dx =а ∫ f(x) dx.

5.  Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этиx функций, т. е.

∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx.

Интегралы от элементарныx функций называются табличными.

Таблица интегралов

1.  ∫ 0dx = С,

2.  ∫ xndx = , n ≠ -1,

3.  ∫ = In | x | + C,

4.  ∫ axdx = + C, a > 0, a ≠ 1,

5.  ∫ exdx = ex + C,

6.  ∫ sin x dx = - cos x + C,

7.  ∫ cos x dx = sin x + C,

8.  ∫= arcsin+ C, -a < x < a, a > 0,

9.  ∫, a ≠ 0,

10.  ∫= , a ≠ 0,

11.  ∫, a ≠ 0.

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5, называется методом разложения.

Метод замены переменной

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

∫ f(x) dx = ∫ f (φ(t)) φ'(t) dt,

где x = φ(t) – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Геометрический смысл интегральной суммы

Пусть функция у = f(х) неотрицательная на . Отдельное слагаемое f(ξi)Δxi интегральной суммы в этом случае равно площади Si прямоугольника со сторонами f(ξi)и Δ xi, где i - 1, 2, …., n. Другими словами, Si - это площадь под прямой у = f(ξi) на отрезке . Поэтому вся интегральная сумма равна площади SЛ = S1 + S2 +…+ Sn под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой у = f(ξi), параллельной оси абсцисс.

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении Δxi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2, ….. и точек ξ1, ξ2,…… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на , обозначается , а сама функция у = f(х) называется интегрируемой на отрезке , т. е.

= .

При этом число а называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным

выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке .

Геометрический смысл определённого интеграла.

Понятие определённого интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке , где a < b, численно равен площади S под кривой y = f(x) на .

Экономический смысл интеграла.

Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени .

u = ,

т. е. если f(t) - производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток.

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции показывает, что величина и объема продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции z = f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или.

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Теорема. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

,

где а - некоторое число.

2.  Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

.

3.  Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т. е. при любых a, b, c.

+ .

4.  Если на отрезке , где a < b, f(x) ≤ g(x), то и

,

т. е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5.  Теорема о среднем. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке , (где a < b), то найдется такое значение ξ є , что

.

Определенный интеграл как функция верxнего предела

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке , вложенном в .

Положим по определению

,

где х є , а функция Ф(x) называется интегралом с переменным верxним пределом.

Свойства функции Ф(x)

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то функция Ф(x) также непрерывна на.

Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке. Тогда в каждой точке х отрезка производная функции Ф(x) по переменному верxнему пределу равна подынтегральной функции f(x), т. е.

.

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема. Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - любая первообразная для f(x) на. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т. е.

.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона - Лейбница осуществляется в два шага:

1.  Используя технику нахождения неопределённого интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x);

2.  Применяется собственно формула Ньютона - Лейбница - находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

F(х) = F(b) - F(a) .

Замена переменной и формула интегрирования

по частям в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке, а = φ(α), b = φ(β) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х = φ(t), где t є .

Тогда справедливо следующее равенство

.

Формула носит название формулы замены переменной в определённом интеграле.

Теорема 2. Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют непрерывные производные на отрезке. Тогда

,

где иv = u (b) v (b) - u (a) v (a).

Формула называется формулой интегрирования по частям для определённого интеграла.

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция у = f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке , т. е. функция Ф(t) = определена для произвольного t ≥ а.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к +∞, т. е.

= .

Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае - расходящимся.

По аналогии с теорией числовых рядов при работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

1.  исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

2.  вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Определение. Если существует и конечен предел , где δ > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на и обозначается

, т. е.

= .

В этом случае данный несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y = f(x) непрерывной, но неограниченной на :

= .

РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2, …, un …, соединенных знаком сложения:

u1 + u2 + …..+ un + …= .

Числа u1, u2, …, un, …, называются членами ряда, а член un - общим или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член un = f(n) (n = 1, 2, ...), т. е. задана функция f(n) натурального аргумента.

Определение. Ряды называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм т. е.

.

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

u1 + u2 + ….+ un + …= = S.

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов.

1.  Если ряд u1 + u2 +….+ un + …сходится и имеет сумму S, то и ряд λu1 + λu2 +….+ λun + …. (полученный умножением данного ряда на число λ) также сходится и имеет сумму λS.

2.  Если ряды u1 + u2 +….+ un +…. и v1 + v2 +….+ vn +…. сходятся и их суммы соответственно равны S1 и S2, то и ряд (u1 + v1) + (u2 + v2) + (un + vn)+…. (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма S1 + S2.

3.  Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путём отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.