Элементы линейной алгебры (стр. 1 )

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Основные понятия и определения

Матрицей А размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Например, матрица

=

или, в сокращенной записи, А = (аij); i = 1,2, …., m; j = 1,2, …., n.

Элемент аij – это элемент стоящий в i-ой строке и j-м столбце.

Например:

Элемент а12 = 2, а21 = -1.

Виды матриц.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а

из одного столбца - матрицей (вектором) - столбцом.

матрица - строка;

матрица - столбец.

Элементы матрицы аij, у которых номер столбца равен номеру строки (i = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

1, 4 - элементы главной диагонали.

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Например: матрица первого порядка;

матрица второго порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме тех, которые стоят на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы стоящие ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной матрицей.

Прямоугольная матрица, у которой все элементы стоящие ниже главной диагонали равны нулю, называется ступенчатой матрицей.

диагональная матрица;

треугольная матрица;

ступенчатая матрица.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной.

Например:

Е1х1 = единичная матрица 1-го порядка;

Е2х2 = единичная матрица 2-го порядка ;

Е3х3 = единичная матрица 3-го порядка.

Две матрица А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. А = В, если аij = bij для любых i = 1,2, .., m; j = 1,2, …, n.

, .

Операции над матрицами

1. Умножение матриц на число.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В = λА, элементы которой bij = λ aij для i = 1, 2, …., m; j = 1,2, …., n.

Например, если

, то 5А = .

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m х n называется матрица С = А + В, элементы которой cij = aij + bij для i=1,2,…,m; j=1,2,…n (т. е. матрицы складываются поэлементно).

Например, если

А = , В = ,

то

С=А + В = = .

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А - В = А + (-1) · В.

Например, если

А = , В = ,

то

С=А - В = = .

4. Умножение матриц.

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц · называется

такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й

строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Например, если

; ,

то

С = АВ = х=,

где элементы матрицы С вычисляются следующим образом:

а11 = 1 х 1 + 2 х (-1) + (-3) х 0 = -1,

а12 = 1 х 2 + 2 х 4 + (-3) х 1 = 7,

а21 = 0 х 1 + 4 (-1) + 6 х 0 = -4,

а22 = 0 х 2 + 4 х 4 + 6 х 1 = 22.

Замечание: произведение матриц не коммутативно (А х В ≠ В х А).

Например: А х В = С, но В х А ≠ С.

Кроме АхЕ = ЕхА = А и А-1хА = АхА-1 = Е (где Е – единичная матрица, А-1 – обратная матрица к матрице А).

Свойства операций над матрицами:

А+В = В+А; (А+В)+С = А=(В+С); l(А+В) = lА+lВ; А(В+С) = АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС; l(АВ) = (lА)В = А(lВ); А(ВС) = (АВ)С.

5. Возведение в степень.

Целой положительной степенью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т. е.

Аm = .

Например, если

,

то

6. Транспортирование матрицы.

Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранение порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А.

Например:

А3х2 = , А'2х3 = .

Из определения следует, что если матрица А имеет размер mxn, то транспонированная матрица А’ имеет размер nxm.

Свойства операции транспонирования:

(A’)’=A; (lA)’=lA’; (A+B)’=A’+B’; (AB)’=B’A’.

Определители квадратных матриц

Необходимость введения определителя тесно связано с решением систем линейных уравнений.

Определитель - число, характеризующее квадратную матрицу А. Определитель матрицы А обозначается |A| или ∆.

Если определитель некоторой матрицы равен нулю, то эта матрица называется вырожденной, если не равен нулю - невырожденной.

Определителем матрицы первого порядка А = (а11), или определителем первого порядка, называется элемент а11:

∆1 = | A| = а11 .Например, пусть А = (-4), тогда ∆1 = | A| = | -4| = -4.

Определителем матрицы второго порядка А = (аij), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

А = ; ∆2 = =.

Например:

A = , ∆2 = = 1 (-5) – (== -21.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

С = , ∆3 = = с11с22с33 + с12с23с31 + с21с32с13 - с31с22с13 -

с12с21с33 - с32с23с11.

Например:

С = , ∆3 = = 1·5·(-2) + (-1) ·(-6) ·3 + 4· (-5) ·2 – 3·5·2 – (-1)·4·

(-2) – (-5)·(-6) ·1 = -100.

Определение. Определителем квадратной матрицы n-го порядка, или определителем n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятыx по одному из каждой строки и каждого столбца, причём знак каждого члена определяется как (-1)r(J), где r(J) - число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номер строк записаны в порядке возрастания:

∆ = ,

где сумма дерется по всем перестановкам J. Проверим, например, что при n = 3 мы получаем введенный ранее определитель третьего порядка:

∆3 = (-1)0а11а22а33 + (-1)2а12а23а31 + (-1)2а13а21а32 + (-1)3а13а22а31 + (-1)1а12а21а33 + (-1)1а11а23а32 .

Минором Мij элемента аij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

Аij = (-1) i+j Mij .

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на иx алгебраические дополнения:

Δ = aisAis .

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n - 1)-го порядка.

Свойства определителей

1.  Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2.  Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.

3.  При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |A'| = | A|.

4.  При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на

противоположный.

5.  Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее

определитель равен 0.

6.  Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель

равен 0.

7.  Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на

алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8.  Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца)

матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные

на одно и то же число.

9.  Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой

стоки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой

элементов этой строки (столбца) на числа b1, b2,… bn.

10.  Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению иx

определителей: |С| = |А| ·|В|, где С = А · В; А и В - матрицы n-го порядка.

Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если АВ ≠ ВА, то |AВ| = |ВА|.

Обратная матрица

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрицы:

А-1 х А = А х А-1 = Е.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Обратная матрица А-1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Схема вычисления обратной матрицы:

1.  Находим определитель исходной матрицы. Если |А| = 0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует. Если |А| ≠ 0, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.

2.  Находим матрицу А', транспонированную к А.

3.  Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А'ij = Аij (i -1,2,…,n; j = 1,2,…,n) и составляем из них присоединенную матрицу Ã.

4.  Вычисляем обратную матрицу.

5.  Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А-1, исходя из ее определения

А-1 А = А А-1 = Е.

Ранг матрицы

В матрице А размером m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k ≤ min (m; n). Определители такиx подматриц называются минорами k - го порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается r (А).

Свойства:

а) r (А) ≤ min (m; n);

б) r (А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т. е. А = 0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r (А) = n тогда и только тогда, когда матрица

А - невырожденная.

По определению на практике ранг матрицы вычислять не удобно. Он вычисляется с помощью элементарных преобразований.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод обратной матрицы и формулы Крамера

Пусть число уравнений системы равно числу переменных, т. е. m = n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель Δ = |А| называется определителем системы.

Предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т. е. ее определитель |А| ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица А-1.

Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу А-1, получим А-1(АX) = А-1В. Так как А-1(АX) = (А-1А)X = ЕХ = Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица - столбец

X = А-1В.

Теорема Крамера. Пусть Δ - определитель матрицы системы А, а Δj - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободныx членов. Тогда, если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

хj = j (j = 1,2,…, n).

Метод Гаусса

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменныx - заключается в том, что с помощью элементарныx преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменныx, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе

коэффициент при переменной х1 в первом уравнении а11 ≠ 0.

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на -а21 / а11, -а31 / а11,…, -аm1/а11) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, …., m-му уравнению системы, исключим переменную х1 из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим

Шаг 2. Предположим, что а ≠ 0. Умножая второе уравнение на подходящие числа

(-а / а, - а / а, …, - а / а) и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому, …, m-му уравнению системы, исключим переменную х2 из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных, после (r –1)-го шага получим систему

Число нуль в последних m – r уравненияx означает, что иx левые части имеют вид 0 · х1 + 0 · х2 +…+ 0 · хn. Если хотя бы одно из чисел b,…,b не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа b,…,b, в системе равны нулю. Очевидно, что после отбрасывания "лишних" уравнений возможны два случая:

а) число уравнений системы равно числу переменных, т. е. r = n (в этом случае система имеет треугольный вид);

б) r < n (в этом случае система имеет ступенчатый вид).

Переход системы к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы - обратным ходом.

ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствии вполне определённое число аn, то говорят, что задана последовательность {аn}:

а1, а2, …, аn,… .

Примеры числовых последовательностей:

2, 4, 6, …2n,… (монотонная, неограниченная),

1, 0, 1, 0,…….. (не монотонная, ограниченная).

Определение: Число А называется пределом числовой последовательности {аn}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такой N (зависящий от ε, N = N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство

аn - A

< ε,

Геометрическая интерпретация последовательности А = liman, если для любого ε >0 найдётся номер N, начиная с которого, (при n > N) все члены последовательности будут заключены в ε - окрестности точки А, какой бы узкой она ни была. Вне этой ε -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Предел функции в бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдётся такое положительное число S > 0 (зависящее от ε; S = S(ε)), что для всех х таких, что | x | > S, верно неравенство

| f(x) - A | < ε .

Этот предел функции обозначается или f(x) → A при х → ∞.

Предел функции в точке.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдётся такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε; δ = δ(ε)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию

| x - х0 | < δ,

выполняется неравенство

| f(x) - A | < ε .

Этот предел функции обозначается или f(x) → A при х → х0.

Бесконечно малые величины

Определение. Функция a(x) называется бесконечно малой величиной при х → х0, или при х → ∞, если ее предел равен нулю:

α(x) = 0.

Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х→ х0, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε; δ = δ(ε)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию

| x - х0 | < δ,

будет верно неравенство

| а(x) | < ε .

С помощью логических символов приведем это определение к виду:

а(х) - бесконечно

малая при х→ х0 (ε > 0) (δ = δ(ε) > 0) (х ≠ х0 : | x - х0 | < δ)

или | а(x) | < ε .

Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой при х → ∞, если основное неравенство рассматривать для достаточно больших х. Приводим его в краткой форме:

а(х) - бесконечно

малая при х→ ∞ (ε > 0) (S = S (ε) > 0) (х : | x | > S)

или | а(x) | < ε .

Свойства бесконечно малых величин:

1.  Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2.  Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3.  Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х → x0, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М > 0, найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от М, δ = δ(М)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию

х - х0 < δ , будет равно неравенство

f(х)

> M.

Запись того, что функция f(x) бесконечно большая при x → x0, следующая:

или f(x) → ∞ при x → x0.

Это же определение можно записать в виде:

f(х) - бесконечно

большая при х→ х0 (М > 0) (δ = δ(М) > 0) (х ≠ х0 : | x - х0 | < δ)

или | f(x) | > М.

Аналогично можно было определить понятие бесконечно большой величины при х→∞. Приведем его в краткой форме:

f(х) - бесконечно

большая при х→ ∞ (M > 0) (S = S (M) > 0) (х : | x | > S)

или | f(x) | > М.