Урок геометрии в 8 классе: Площадь треугольника (стр. 2 )

Ход занятия.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Письменная работа по теме «Четность (нечетность) функций» (выбор верного утверждения). (Приложение 1)

3. Сообщение темы, целей и задач урока, мотивация учебной деятельности.

Классификация учащимися представленных графиков функций (возможно, учащиеся предложат свой вариант классификации). (Приложение 3)

Исследуйте решение уравнения f(x)=c в зависимости от параметра с по графикам функций 1, 4-6, 8, 9.

4. Изучение нового материала.

Определение монотонных функций. Свойства монотонных функций. Свойства графиков монотонных функций.

Учащиеся разбиваются на четыре группы.

Задание для микрогрупп:

доказать самостоятельно в группах по определениям возрастающей и убывающей на промежутке функций свойства функций на слайде. Каждая группа представляет свое доказательство.

Следует отметить, что:

1)  Если функция возрастает (убывает) на нескольких промежутках, то следует их перечислить, а не записывать, используя знак объединения промежутков. В последнем случае может нарушаться определение монотонной функции (можно показать на примере обратной пропорциональности).

2)  График функции может «расти» (убывать) выпуклостью вверх или вниз.

6. Первичное закрепление знаний.

Обсуждение вопросов по теме «Монотонность функций», использование программы Advanced Grapher. (Приложение 2)

7. Анализ и оценка итогов урока.

Учащиеся могут оценить себя по критериям.

Критерии оценивания

Номер задания	Проверяемый элемент	Воспроизведение знаний	Применение знаний	Интеграция знаний	Балл за выполненное задание
1	Знание определения четной (нечетной) функций	1			0,5
2	Умение сравнивать, обобщать свойства элементарных функций		1		1
3	Уметь применять определение четной функции		1		1
4	Уметь применять определение нечетной функции		1		1
5	Уметь применять определение четной (нечетной) функций		1		1
6	Уметь применять определение четной (нечетной) функций в новой ситуации			1	1,5
7	Уметь применять определение четной функции к линейной функции		1		1
8	Уметь применять определение нечетной функции к линейной функции		1		1
9	Уметь применять определение четной функции к квадратичной функции		1		1
10	Уметь применять определение нечетной функции к квадратичной функции		1		1
	Всего				10

Оценка «5» ставится, если учащийся набрал 9-10 баллов;

оценка «4» ставится, если учащийся набрал 7,5-8,9 баллов;

оценка «3» ставится, если учащийся набрал 6-7,4 баллов;

в остальных случаях ставится оценка «2».

8. Домашнее задание: пункт 1, учебник «Алгебра 9» для углубленного изучения математики Ю. Макарычева, прочитать лист «Применение монотонности функций к решению задач» (лист можно выставить на портале), № 8.142(а, в), 8.143(а, в).

9. Рефлексия.

Учащимся предлагается письменно заполнить таблицу из трех граф. В графу «П» - «плюс» записывается все, что понравилось на уроке, информация и формы работы,  которые вызвали положительные эмоции, либо по мнению ученика могут быть ему полезны для достижения каких-то целей. В графу «М» - «минус» записывается все, что не понравилось на уроке, показалось скучным, вызвало неприязнь, осталось непонятным, или информация, которая, по мнению ученика, оказалась для него не нужной, бесполезной с точки зрения решения жизненных ситуаций. В графу «И» - «интересно» учащиеся вписывают все любопытные факты, о которых узнали на уроке и что бы еще хотелось узнать по данной проблеме, вопросы к учителю.

Приложение 1.

Работа по теме «Четность (нечетность) функций»

ученик _____ 9 _____ класса ___________________________________________________

Фамилия и имя учащегося

Определите, верны ли следующие утверждения. Если утверждение неверно, запишите собственное утверждение.

1.  Область определения четных и нечетных функций симметрична относительно нуля. _____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2.  Область определения только четных и нечетных функций симметрична относительно нуля. ________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

3.  Множество значений четной функции симметрично относительно нуля.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

4.  Множество значений нечетной функции симметрично относительно нуля.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

5.  Алгебраическая сумма двух четных (нечетных) функций есть функция нечетная (четная).

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

6.  Функция не может быть одновременно четной и нечетной.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

7.  Линейная функция может быть четной.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

8.  Линейная функция может быть нечетной.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

9.  Квадратичная функция y=ax2+bx+c может быть четной, если b = 0.

_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

10.  Квадратичная функция y=ax2+bx+c может быть нечетной, если b = с = 0.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Ответы

1.  Верно.

2.  Неверно, например, линейная функция вида y=kx+b, k≠0, b≠0 является функцией общего вида.

3.  Неверно, это следует из определения четной функции.

4.  Верно, это следует из определения нечетной функции.

5.  Неверно. Алгебраическая сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

6.  Неверно, например, функция y=0 является четной и нечетной.

7.  Верно, линейная функция y=kx+b может быть четной, если k=0.

8.  Верно, линейная функция y=kx+b может быть нечетной, если k=0, b≠0.

9.  Верно.

10.  Неверно, так как для квадратичной функции не выполняется определение нечетной функции.

Приложение 2.

Вопросы для обсуждения по теме «Монотонность функций»

1.  Сколько раз график функции пересекает ось Ох?

2.  Сколько раз график возрастающей функции пересекает ось Ох?

3.  Сколько раз график убывающей функции пересекает прямую у = с?

4.  Сколько точек пересечения может иметь график возрастающей функции с прямой
у = х?

5.  Сколько точек пересечения может иметь график убывающей функции с прямой
у = х?

6.  Верно ли, что если функция возрастает на интервалах (а; b) и (b; с), то она возрастает и на интервале (а; с)?

7.  Пусть функция у = f(х) возрастает на отрезке [а; с] и убывает на отрезке [с; b]. Обязательно ли значение f(с) является ее наибольшим значением на отрезке [а; b]?

8.  Может ли быть монотонной сумма двух функций, каждая из которых не является монотонной?

9.  Пусть gx=7x+1, hx=5x-3. Укажите функцию y=f(x), такую, чтобы функция y=gx+ fx была возрастающей, а функция y= hx+fx – убывающей.

Ответы и комментарии

1.  Число точек пересечения графика функции с осью Ох может быть любым.

2.  График возрастающей функции пересекает ось Ох один раз, иначе это противоречит ее определению.

3.  График убывающей функции пересекает прямую у = с один раз, иначе это противоречит ее определению.

4.  Бесконечное число точек пересечения может иметь график возрастающей функции с прямой у = х.

К о м м е н т а р и й. Попросить учащихся «навить» на прямую у = х график возрастающей функции y=x+sinx в программе Advanced Grapher.

5.  График убывающей функции имеет с прямой у = х одну точку, иначе это противоречит ее определению.

6.  Не всегда, в качестве контрпримера можно взять функцию y=kx, k>0.

К о м м е н т а р и й. Попросить учащихся проиллюстрировать этот пример в программе Advanced Grapher.

7.  При х ∈ [а; с] выполняется неравенство f(x)≤f(c), а при х ∈ [с; b] выполняется неравенство f(c)≥f(x), то есть все значения функции f не меньше f(с), так что с – наибольшее значение функции f на отрезке [а; b].

8.  Да, например сумма функций y=x2 и y=-x-12.

9.  Например, fx= -6x.

ғалиқызы,

Маңғыстау облысы Ақтау қаласы

«№ 11 мамандандырылған физика-математикалық мектебі» мемлекеттік мекемесінің жоғарғы санатты математика пәні мұғалімі

Педагогикалық кредо: Академик : «Математик әрқашан реалды құбылыстардың әр түрлі модельдерімен жұмыс жасайды. Оны математик ретінде «қабылданған модель аясында қорытындылар орынды ма?» деген сұрақ ғана ойландырады. Егер де ол реалдылық пен оның математикалық моделінің арасындағы диалектикалық байланысты түсіндіру міндетінен бас тартса, бұл әсте жақсы емес» - деп көрсеткен болатын.

8 сынып

Сабақтың тақырыбы: Пифагор теоремасы

Сабақтың мақсаты:

1) Пифагор теоремасын ың дәлелдеуінің бірнеше әдістері бар екенін түсіндіріп, оны геометриялық есептерді шығару барысында қолдану дағдыларын қалыптастыру;

2) шапшаңдыққа, тапқырлыққа баулу; логикалық ойлау қабілеттерін жан-жақты дамыту;

3) таза жазуға, сызбаларды ұқыпты орындауға,; мәдениетті, әрі көркем сөйлеуге тәрбиелеу;

Пән аралық байланыс: алгебра, тарих, әдебиет

Сабақтың жоспары:

1.  Ұйымдастыру бөлімі

2.  Оқушылардың жаңа сабаққа әзірлігін тексеру

3.  Пифагордың өмірбаянымен таныстыру

4.  Пифагор теоремасының тарихынан мағлұмат беру\

5.  Теоремамен жұмыс

a)  мұғалім

b)  оқушы ізденісі

6.  Теореманың қолданылуы

a)  есептерді шығаруға

b)  есептерді дәлелдеуге

7.  Тест өткізу

8.  Сабақты қорытындылау, бағалау

9.  Үйге тапсырма беру

Көрнекілігі:

Сызу құралдары (бұрыштық, сызғыш),интерактивті тақта, тест құрал, стенд: Пифагор портреті, тарихи мағлұматтар, тарихи есептер, т.т

Ауызша есептер үшін суреттер

«Көпбұрыштың ауданы» өткен материалды қорытындылау мақсатында оқушылардан тест алу.

1. Дұрыс жауапты анықта:

a) Тіктөртбұрыштың ауданы екі қабырғасының көбейтіндісіне тең;

b) Квадраттың ауданы оның қабырғасының квадратына тең;

c) Тік төртбұрыштың ауданы екі көрші қабырғасының екі еселенген көбейтіндісіне тең.

2. Көп нүктенің орнына керекті сөз тіркесін қой. Ромбының ауданы... көбейтіндісінің жартысына тең

a) оның қабырғаларының;

b) оның қабырғасы мен сол қабырғаға түсірілген биіктігінің;

c) оның диагональдарының.

3. S = а · һа формуласы бойынша қай фигураның ауданын табуға болады?

a) параллелограмның; b) үшбұрыштың; c) тіктөртбұрыштың.

4. Табандары а және в және биіктігі һ болатын трапецияның ауданы төмендегі формула бойынша есептеледі:

а) S= б) S= с) S=

5. Дұрыс жауапты анықта:

Тік бұрышты үшбұрыштың ауданы оның:

a)  кез келген биіктігі мен катетінің көбейтіндісіне;

b)  катеттерінің көбейтіндісінің жартысына;

c)  қабырғасы мен оған түсірілген биіктігінің көбейтіндісіне тең.

Оқушылар, жаңа сендер қайталаған көпбұрыштың аудандарының қасиетін пайдалана отырып, бүгін геометрияның алтын қазынасы есептелетін “Пифагор теоремасы” тақырыбын өтпекпіз.

“Пифагор теоремасында” тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттерінің арасындағы тамаша қатыс тағайындалады.

Пифагор теоремасы тарихында тоқталайық.

- Ежелгі Мысыр мен Вавилон жазбаларында бұл теорема, Пифагорға дейін 1200жыл бұрын кездескен, бірақ осы теореманың дәлелдеуін б. э.б. VI ғасырда өмір сүрген грек оқымыстысы,(арифметика, геометрия, музыка, астрономия) Пифагор тапқан болатын. Және дәлелдемесін тапқанда 100 өгіз сойып, той жасаған, ,құдайлардың құрметіне құрбандық берген деседі. Ал одан кейін теореманың дәлелдемелерін бірнеше ғалымдар тапқан. Қазіргі кезде 367 дәлелдеуі бар.

Айтушылардың сөзіне қарағанда ғылымның бұл саласын жоғары тұрғыдан зерттеп, қиқы-шойқы жерлерін түзеп, шалағай ережелерді ширатып, ақыл парасатына жүгіндіріп,үлкен ғылымға айналдырушы Пифагор болған.

Пифагор – гректің ерте замандағы философы және математигі. Ол геометрияны тек практика тұрғысынан ғана қарамай, оны логикаға негіздеп, абстракт ғылым ретінде қарастырған ғалымдардың бірі болса керек. Ұқсас фигуралар жайындағы ілімді жасаған, кейбір дұрыс көпбұрыштар мен көпжақтардың салу тәсілін тапқан. Пифагоршылардың аса маңызды табысы өлшемдес емес кесінділердің болатындығын тағайындау болды.

Қабырғалары 3, 4, 5 сандарымен өрнектелетін тік бұрышты үшбұрыш «Египет үшбұрышы» деп аталған. Египеттіктер жер бетінде тік бұрыш салып көрсету үшін, жіпті 12 тең бөлікке бөліп, 3 бөлігінен 1 түйін, онан кейін 4 бөлігінен 1 түйін салып, 2 ұшын түйетін де, сол түйіндерге қазықтар қағып көргенде жер бетінде тік бұрышты үшбұрыш пайда болатын. Мұндай үшбұрыштар көп болатын. Олардың қабырғаларын 5, 12 және 13; 7, 24 және 25 т. с.с сандармен өрнектеген. Осы сандар «Пифагор сандары» деп аталады.

Пифагор теоремасы

Тік бұрышты үшбұрыштың гепотенузасының квадраты

катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.

Пифагор теоремасын дәлелдеудің түрлері

1.

Берілгені: ▲АВС(<С=900)

Дәлелдеу керек: АВ2=АС2+СВ2

 

Дәлелдеу:АВ=с, АС=b, СВ=а

Берілген үшбұрышты қабыр-

ғасын а+в квадратқа дейін

толықтырайық. S= (а+в)2

S=.Сонда

,бұдан

с2= а2+b2.Теорема дәлелденді.

2. Теореманың қарапайым дәлелдеуі тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында қарастырылады. Теореманың өзі де осыдан басталған.

Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған квадрат катеттеріне салынған квадраттардың қосындысымен тең шамалы.

Теореманың дұрыстығына көз жеткізу үшін тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар мозаикасына қарау жеткілікті. Мысалы, ΔABC үшін : АВ гипотенузасына салынған квадрат 4 үшбұрыштан құралған, ал катеттерге салынған квадраттардың әрқайсысы екі үшбұрыштан тұрады. Теорема дәлелденді.

Пифагор теоремасының қолданылуы

Ауызша есептер

Табу керек: АВ Табу керек: ВС Табу керек: АВ

1. Тікбұрышты трапецияның үлкен диагоналы 13 см, ал үлкен табаны 12 см, кіші табаны 8 см болса, трапецияның ауданы қандай болғаны?

2.Параллелограмның кіші биіктігі мен кіші табаны сәйкесінше 9 см және 12 см. Үлкен диагоналы 15 см. Параллелограмның ауданын тап.

Тарихи есептер

XII ғасырдағы үнді математигі Бхаскараның есебі

Өзеннің жағасында жалғыз терек өсіп тұр. Кенеттен жел тұрып, терек сынып түсіп, теректің төбесі өзеннің екінші жағасына түсті. Суретте көрсетілген өлшемдері бойынша теректің ұзындығын тап. (1 фут = 0,3048 м)

Қорытынды: Сонымен қорытындылай келе, Пифагор теоремасы қажеттілігі: Есептер шығаруда, үлкен құрылыстарда, теоремаларды дәлелдегенде т. т. Сондықтан бұл теореманың қыр – сырын толығырақ әрі тереңірек білу қызығушылық тудырады.

учитель математики высшей категории РСФМСШИ «Почетный работник образования Республики Казахстан» Галия Зейнуллаевна работает в системе образовании 26 лет, из них в РСФМСШИ 14 лет. Человек всецело преданный своему делу, своей профессии, творческий учитель. Галия Зейнуллаевна является разработчиком учебных программ для углубленного изучения математики «Элективный курс по геометрии для 9 класса».

Номинант «Учитель инновации по педагогике» (2008г., г. Кокшетау, РНПЦ «Дарын»). Соавтор электронного учебника по геометрии, 11 класс (2003г., г. Алматы), автор электронного по геометрии, 10 класс (2009г.,г. Алматы).

Ее ученики – победители областных, республиканских и международных олимпиад.

Урок алгебры и основ математического анализа в 11 классе

Тема урока: Решение уравнений и доказательство неравенств нестандартными методами.

Цель урока: Организация деятельности учащихся по решению уравнений и доказательству неравенств нестандартными методами.

Задачи урока:

а) обучающая: формирование навыков решения алгебраических задач нестандартными методами;

б) развивающая: развитие умений анализировать, сравнивать, строить аналогии при доказательстве математических утверждений, нахождении корней уравнений;

в) воспитывающая: формирование устойчивого интереса к предмету, к решению конкурсных, навыков исследовательской работы, коммуникативных умений..

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности; установления внутрипредметных связей.

Оборудование: Интерактивная доска.

Ход урока:

1.Организационный момент (приветствие, объявление темы, цели, задач урока, разбиение на группы).

2.Решение нестандартных задач (групповая работа)

а) объяснение материала «Применение тригонометрии в алгебре»

№1. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям . Доказать, что .

Решение: Поскольку то существуют такие и , что Имеем Следовательно,

№2. Известно, что Вычислить

Решение: положим Отсюда Из условия следует, что Далее,

Ответ: 0.

№3. Доказать, что при и имеет место неравенство

Решение:

С учетом того, что можем положить где Тогда достаточно доказать неравенство т. е. Так как и то и Отсюда

№4. Решить уравнение

Решение: т. к. то положим . Тогда исходное уравнение становится таким Переходим к равносильной системе

Отсюда где n и k – целые.

Очевидно подходят только и

Ответ:

№5. Решить систему

Решение: . и .

отсюда возведем в квадрат и сложим, отсюда ,

Учитывая, что и , т. е. Тогда . Значит

Ответ:

б) «Применение векторов в алгебре»

№6. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям . Доказать, что

Решение:

Рассмотрим два вектора и Очевидно, имеет место следующее неравенство или в координатной форме Именно это последнее неравенство является ключом к решению. Отметим, что равенство достигается при условии коллинеарности векторов и .