Урок геометрии в 8 классе: Площадь треугольника (стр. 3 )

Пусть векторы и такие, что и . Тогда с учетом условия , . Кроме того, Имеем

№7.Решить уравнение

Решение: введем векторы Тогда левая часть уравнения равна то левая часть уравнения не превосходит 2.

Оценим правую часть. Имеем Следовательно, исходное уравнение равносильно систем

Этот корень удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ:

№8. Решить уравнение

Решение:

Введем векторы и

Оценим левую часть Так как равенство возможно лишь при условии коллинеарности векторов и , то решения (если они существуют) следует искать среди решений уравнения имеющего (в этом несложно убедиться) единственный корень Проверка показывает, что удовлетворяет исходному уравнению

Ответ.

№9. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы АА1В1В, ВВ2С1С, СС2А2А. Могут ли отрезки А1А2, В1В2, С1С2 быть сторонами некоторого треугольника?

Решение:

Покажем, что . (см. рис.). Действительно, имеем . Кроме того,

Возможен случай, когда векторы коллинеарны. В этом случае сумма двух рассматриваемых отрезков равна третьему и треугольник построить нельзя.

№10.Доказать где А, В, С – углы треугольника.

Решение: пусть – единичные векторы коллинеарные сторонам АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно. Рассмотрим очевидное неравенство Имеем или откуда и следует .

в) О решений уравнений вида

Наряду с уравнением , где - некоторая функция (1) можно рассмотреть уравнение (2). Уравнение (1) проще уравнения (2), поэтому попытаемся это использовать для решения (2). Примем без доказательства следующие утверждения:

1.Любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

2.Пусть функция строго возрастает на множестве Х и пусть для любого , тогда уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.

№10. Решить уравнение

Решение: Функция строго возрастает на множестве R, и для любого . Тогда на основании утверждения 2 исходное уравнение равносильно уравнению и имеет единственный корень . Следовательно, данное уравнение также имеет единственный корень .

Ответ: .

№11. Решить уравнение

Решение:

(1). Рассмотрим функцию она строго возрастает на множестве и для любого . Тогда по утверждению 2 уравнение (1) равносильно уравнению которое имеет три корня: Следовательно, данное уравнение имеет те же три корня.

Ответ: 1; 2; -3.

3.Задания для самостоятельного решения(индивидуальная работа)

№1. Решить уравнение

№2. Числа таковы, что Найти наибольшее и наименьшее значение выражения

№3. Пусть - плоские углы некоторого трехгранного угла. Доказать, что

4.Оценивание учебных достижений:

а)самооценка каждого(лист самооценки);

б)взаимооценка ( внутри малой группы);

в)оценка учителя.

5. Домашнее задание:

№1. Решить уравнение

№2. Решить уравнение

№3. Решить уравнение

№4. Решить уравнение

№5. Решить уравнение

5. Подведение итогов урока, рефлексия каждой микрогруппы, мнения 2-3 учеников класса.

Қызылорда облысы, Қызылорда қаласындағы Қ.Мұхамеджанов атындағы №1 мектеп-гимназиясының математика пәнінің мұғалімі Әділбеков Асқар Қалиұлы

Педагогикалық ұстаным: Өзімнің педагогикалық ұстанымыма келесі бағыттарды аламын:

-  Тәрбиелей отырып, кәсіби білім беру;

-  Оқушыларға өз балаңдай талап қоя отырып, сүйіспеншілікпен қарау және жоғары адами қасиеттерге баулу;

Бар жетістікке қанағаттанбай, іздену, алға жылжу.

5-сыныпта математика сабағы: «Жай бөлшектер»

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Оқушылардың сандар туралы ұғымын кеңейту, өмірмен байланыстыра отырып бөлшек садарды ұғындыру. Интерактивті тақтамен жұмыс жасай білуге үйрету.

Дамытушылық: Оқушылардың логикалық ойлау қабілетін, танымдық қабілетін дамыту

Тәрбиелік: Оқушыларды ұқыптылыққа, жауапкершілікке, адамгершілікке тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: Жаңа сабақты меңгерту

Көрнекілігі: Электронды оқулық, интерактивті тақта

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру бөлімі

2. Жаңа тақырыпты түсіндіру

3. Жаңа сабақты бекіту

4. Қорытынды

5. Үйге тапсырма беру

І. Ұйымдастыру бөлімі

Оқушыларды сабақ бастауға бейімдеп, сабаққа дайындаймын. Онан соң жаңа тарауды бастағалы отырғанымызды және оның бірінші тақырыбы «Жай бөлшектер. Жай бөлшектерді оқу және жазу» екенін айтып, бүгін осы тақырыпты өтетінімізді айтамын.

ІІ. Жаңа тақырыпты түсіндіру

Жаңа сабақты электронды оқулық арқылы түсіндіремін.

а) Жай бөлшек ұғымын енгізу.

Дөңгелекті тең 4 бөлікке бөлейік. Тең бөліктер үлестер деп аталады. Әрбір үлес – дөңгелекті өзара тең 4 бөлікке бөлгендегі 1 бөлігі. Жазылуы дөңгелектің -і; -дің оқылуы: «төрттен бір». Демек, 1:4 дегеніміз ; , мұндағы – сызықша – бөлшек сызығы. 1-бөлшектің алымы, 4- бөлшектің бөлімі.

1-сурет

Бөлшек сызығының астындағы сан неше тең бөлікке бөлінгенін көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды, бөлшек сызығының үстіндегі сан ол бөліктердің нешеуі алынғанын көрсетеді сондықтан оны бөлшектің алымы деп атайды.

Бұдан соң интерактивті тақтадан электронды оқулықтағы тапсырмаларды орындатамын.

ІІІ. Жаңа сабақты бекіту

а) Интерактивті тақта арқылы тапсырмалар орындату

1-тапсырма бөліндіні бөлшек түрінде жазу.

m : n = ;

Бөлінгіш бөлшектің алымына жазылады да, бөлгіш бөлшектің бөліміне жазылады. Электронды оқулықтағы 3 тапсырманы орындатамын.

- жетіден бір; - он бірден сегіз; -он алтыдан бес;

- жеті жүз жетпіс бірден жүз тоғыз

2-тапсырма. Оқулықпен жұмыс

№ 000

Боялған бөліктерді бөлшек түрінде жаз.

№ 000

Боялған бөліктерді бөлшек түрінде жаз.

№ 000

Боялған бөлшектер жай бөлшекпен дұрыс көрсетілген бе?

№ 000

Бөлшек түрінде жазыңдар:

1) ; 2) ; 3) .

№ 000

Бөлшектердің әрқайсысын бөлінді түрінде жазыңдар:

1) ; 2) ; 3) .

№ 000.

Дәптерге қабырғасы 4 см квадрат сызып, оның: 1) жартысын ( ) ;

2) ширегін () бояңдар.

№ 000.

1) Бөлшек түрінде жазыңдар:

; ; ; .

; ; ; .

№ 000.

Өлшем бірліктері арасындағы байланысты пайдаланып, х-тің орнын үлестермен мәндерін қойыңдар:

1 м=10 дм; 1 дм=x м; м.

1 м=100 см; 1 см=x м; м.

1 кг=1000 г; 1 г=x кг; кг.

1 доллар=100 цент; 1 цент=x доллар; доллар.

б) Математикалық лото

Әр партадағы 2 оқушы ретімен барып жауапты тауып фигураны құрастырады. Дұрыс жауапты тапса фигура дұрыс құрастырылады.

1-қатарға. Бөліндіні жай бөлшек түрінде жазу:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Дұрыс құрылса, «Білім - теңіз» деген жазуы бар теңіздің суреті шығады.

2-қатарға. Бөлшекті бөлінді түрінде жазу

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

2-қатар дұрыс құрса, «Мектеп-кеме» деген жазуы бар мектеп үйінің суреті шығады.

3-қатарға.

1) Бөлінгіші 9-ға, бөлгіші 25-ке тең,

2) Бөлінгіші 42-ге, бөлгіші 41-ге тең,

3) Бөлгіші 89-ға, бөлінгіші 59-ға тең,

4) Бөлінгіші 200-ге, бөлгіші 27-ге тең,

5) Бөлгіші 92-ге, бөлінгіші 65-ке тең,

6) Бөлінгіші 15-ке, бөлгіші 73-ке тең,

3-қатар дұрыс құрса, гүл шоғы бар сурет шығады

ІҮ. Қорытындылау:

Білім теңіз тәрізді тұңғиық, жұмбағы көп түбіне жетіп зерттеу үшін көп еңбек қажет, теңіз түбіндегі асыл тастар алу, теру көп тер төгуді қажет етсе, білім де дәл солай. Неғұрлым тереңдеп сүңгіген сайын ғылым қызығына бойлай бересің. Әр оқушыны осындай ғылым теңізінде жүзгізіп, білімнің асыл тастарын тергізетін кеме «Мектеп» болып табылады дей келіп 3-қатардың құрастырған гүл шоғын бүгінгі сабаққа жақсы қатысқанымыз үшін алған сыйлығымыз дей отырып, сабаққа жақсы қатысқан оқушыларды бағалап, сабағымды аяқтаймын.

Ү. Үйге тапсырма: № 000, 371.

Байрахметова Мариямкул Зиноллаевна,

учитель математики Шубаркудукской СШ №3

п. Шубаркудук Темирского района Актюбинской области

Хобби: чтение художественной литературы, изучение информационных технологий.

Педагогическое кредо:

«Ищешь счастья-не избегай трудностей,

Ищешь радости - не избегай мучений».

Урок геометрии в 8-классе: Площадь параллелограмма

Цели урока:

·  Усвоение и закрепление навыков вычисления площадей многоугольников, устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме.

·  Развитие у учащихся аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, развитие умений применять знания в различных ситуациях, развитие умений самостоятельной работы.

·  Формирование положительной мотивации учения, создание “ситуации успеха” на данном уроке.

Оборудование:

·  компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска;

·  презентация Power Point

·  карточки с текстами вывода формулы площади параллелограмма,

·  конверты с подсказками.

Ход урока

Учитель: Добрый день! Сегодня на уроке мы продолжаем разговор о нахождении площадей многоугольников. Мы повторим известные нам свойства площадей, изученные формулы площадей некоторых видов многоугольников, применение их при решении задач. Продолжим исследование одного из видов многоугольников с целью вычисления его площади. Тема нашего урока: «Площадь параллелограмма».

(Этот этап проводится с помощью презентации слайдов 1, 14, 15, 16).

Учитель: Давайте посмотрим некоторые из возможных “перекраиваний” одних многоугольников в другие, которые мы выполняли с вами на предыдущих уроках, и более сложные “перекраивания”, которые вы выполняли к сегодняшнему уроку. (2-слайд)

(Учащиеся наблюдают за “перекраиванием” прямоугольника в равнобедренный треугольник, делая необходимые пояснения).

Учитель: Следующее перекраивание достаточно сложное, рассмотрим его и попытаемся доказать, что получившаяся фигура действительно является параллелограммом »(3-слайд).

Ученик: Отметим точки – середины боковых сторон трапеции и соединив их линией, разделим трапецию на две части; переместим одну часть и перевернув ее, соединим с другой так, чтобы получился четырехугольник. Обозначим его АВСД.

Вопрос: Почему ABCD – параллелограмм?

Ответ: АВ = СD (как половины боковой стороны трапеции), BC = AD (ВС – сумма оснований трапеции, АD – удвоенная средняя линия).

(4-слайд демонстрирует равновеликие фигуры, учащиеся сами выполняют, используя анимацию “перекраивания” произвольного треугольника в трапецию).

1)Учащиеся выполняют задания устно (могут воспользоваться листком черновика для промежуточных записей и вычислений),(5-слайд).

2) (6-слайд). ) Площадь квадрата 32 см2. Найдите периметр равновеликого прямоугольника, у которого смежные стороны относятся как 2 : 1.

3) Задача по готовому чертежу.

Учитель: В последней задаче мы увидели, что можно вычислить площадь параллелограмма, заменив его равновеликим треугольником, площадь которого была известна. Давайте попробуем исследовать вопрос о площади параллелограмма и найти способ ее вычисления, используя известные на сегодняшний день формулы площадей прямоугольников.

Проблемный вопрос: Как найти площадь параллелограмма?

Материал, рассмотренный на предыдущих этапах урока, позволяет привести учащихся к мысли, что надо параллелограмм “перекроить” в другую фигуру, площадь которой они умеют вычислять. Решение поставленной задачи проводится совместными исследованиями и обоснованиями учителя и учащихся, используя наглядные возможности анимации слайда 7.

Проведем в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК. Что можно сказать об отрезках АВ и СD? Каковы отрезки ВН и СК? Почему?

Ответ: они равны как противолежащие стороны параллелограмма и как расстояния между параллельными прямыми.

-Тогда что вы можете сказать о треугольниках АВН и DСК? Почему?

Ответ: они прямоугольные и равны по гипотенузе и катету.

-А что мы знаем о площадях равных фигур?

-Их площади равны.

-Вернемся к параллелограмму и выясним из каких двух фигур он состоит.

Ответ: из треугольника АВН и трапеции НВСD.

-Переместим треугольник АВН, тем самым “перекроим” параллелограмм в фигуру НВСК, из каких многоугольников состоит она?

Ответ: из трапеции НВСD и треугольника DСК.

-Что можно сказать о фигурах АВСD и НВСК.

-Они равновелики по разложению, значит, их площади равны.

-Чем является фигура НВСК?

-Прямоугольником, так как это параллелограмм с прямыми углами.

-Чему равна площадь НВСК?

-Произведению длин НК и ВН – смежных сторон прямоугольника.

-Каким отрезком параллелограмма можно заменить отрезок НК?

-Отрезком АD. Так как НК = ВС = АD.

-Итак, чему же равна площадь АВСD?

-Произведению длин отрезков АD и ВН.

-Какой вывод мы можем сделать из проведенного исследования, как же найти площадь параллелограмма АВСD?

-Провести высоту ВН и найти произведение длин отрезков АD и ВН.

Сторону АD параллелограмма иногда называют основанием.

-А если в качестве основания взять сторону СD и провести к ней высоту ВК, то как мы найдем площадь параллелограмма?

-Площадь можно найти, умножив длину СD на длину ВК.

-Таким образом, как мы можем сформулировать правило нахождения площади параллелограмма?

-Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Сформулированное нами правило мы докажем с вами как теорему.

(По окончании разбора теоремы учащиеся получают ее распечатку для дальнейшего изучения дома). (9-слайд)

А теперь разделитесь на пары или группы и попробуйте решить следующие задачи, если решение вам покажется трудным, воспользуйтесь подсказками. Все вычисления и формулы запишите в тетради.

1 вариант

Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол между ними 150º. Найдите площадь этого параллелограмма.

2 вариант

Острый угол параллелограмма равен 30º, а высоты, проведенные из вершины тупого угла равны 4 см и 3 см. Найдите площадь этого параллелограмма.

Подведем итоги нашего урока. (13-слайд)

1. Достигли мы поставленной цели?

Ответ: Да, мы узнали новую формулу для вычисления площади параллелограмма.

2. Какой главный итог нашего урока?

Ответ: Исследовали и доказали способ отыскания площади любого параллелограмма по известным значениям стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

3. Что мы использовали для достижения цели урока?

Ответ: Известные нам свойства площадей многоугольников, формулу площади прямоугольника.

Домашнее задание:

п.19, теорема о площади параллелограмма, № 000, 226,228.