Техническая механика. Статика и кинематика (стр. 3 )

Варианты к заданию 3
Варианты к заданию 3
Варианты к заданию 3
Варианты к заданию 3

Пример № 2

Определить реакции связей двухопорной балки.

РЕШЕНИЕ

Решаем задачу в следующем порядке:

1.  Рассмотрим равновесие балки АВ.

2.  Изобразим все заданные силы, действующие на балку.

3.  Освободим балку от связей и заменим их реакциями.

Реакция неподвижной шарнирной опоры А представлена в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих и (рис. 14).

Реакция шарнирно-подвижной опоры в точке В – это вектор , направленный перпендикулярно опорной поверхности.

4.  Выбираем одну из трех форм уравнений равновесия, которая является наиболее рациональной для данной конструкции. Рациональность выбора заключается в том, чтобы в каждом уравнении равновесия содержалось одно неизвестное. Для двухопорной балки АВ выбираем систему уравнений:

,

где горизонтальная ось х не перпендикулярна прямой АВ.

5.  Преобразуем силы, действующие на балку АВ, и составим уравнения равновесия. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q представим в виде сосредоточенной силы Rq = q × 2, приложенной в середине отрезка длиной 2 м, на котором действует нагрузка, и направленной вертикально вниз.

Наклонные силы и представим в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих, модули которых равны соответственно.

○  по горизонтали: F1 ××cos60° и RB× cos60°;

○  по вертикали: F1 × cos30° и RB × cos30°.

6.  Составляем уравнения равновесия, пользуясь теоретическими приложениями:

∑mA× (Fk) = 0; F2 × 1 + q × 2 × 2 + m + F1cos 30° ×4 - RB × cos30° × 5 = 0.

После подстановки числовых значений заданных сил определяем величину RB:

6× 1 + 6 × 2 × 2 + 4 + 5 × 0,9 × 4 - RB × 0,9 × 5 = 0,

RB = 3,56 кН,

∑mВ(Fk) = 0; VA × 5 - F2 × 4 - q × 2 × 3 + m + F1× cos30° × 1 = 0,

yA = 10,3 кН,

∑FKX = 0; HA + F1 × cos60° - RB × cos60°×S = 0,

HA = 0,72 кН.

Отрицательное значение НА означает, что эта составляющая реакции опоры в точке А направлена в сторону, противоположную указанной на чертеже.

Для проверки решения задачи вычислим алгебраическую сумму проекций на ось у всех сил, действующих на балку:

∑FKy = VA – F2 – q × 2 +F1× cos30° + RB× cos30° = 10,3 – 6 – 6 × 2 + 5 × 0,9 + + 3,56 × 0,9 = -18 + 18 = 0,

Ответ: уА = 10,3 кН; НА = -0,72 кН; RВ = 3,56 кН.

Пример № 3

Определить реакции, возникающие в прямолинейной балке, один конец которой жестко заделан в точке А.

РЕШЕНИЕ

Решаем задачу в следующем порядке:

1.  Рассмотрим равновесие прямолинейной балки, жестко заделанной одним концом в стенку (рис. 15).

2.  Изобразим схему конструкции со всеми заданными силами.

3.  Применив принцип освобождения от связей, покажем составляющие реакции жесткой заделки в точке А:

○  вертикальная составляющая – ;

○  горизонтальная составляющая – ;

○  реактивный момент – .

4. 

Упростим систему сил, действующих на балку.

Наклонную силу представим в виде двух составляющих: вертикальной и горизонтальной, модули которых соответственно равны:

Fу = F × cos30° и Fх = F × cos60°.

Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q представим в виде сосредоточенной вертикальной силы q × 4, направленной вверх и приложенной в середине отрезка длиной 4 м.

5. Рациональной системой уравнений равновесия для данной схемы является:

,

Эта система уравнений позволяет определить каждое неизвестное из трех (mA; HA; VA) независимо друг от друга.

Составляем уравнения равновесия и определяем из них неизвестные:

∑mA = 0; mА + F× cos30° × 2 - q × 4 × 4 + m = 0,

mА + 10 × 0,9 × 2 - 0,5 × 4 × 4 + 4 = 0,

mA = -14 кН×м.

∑Fкх = 0; HA + F × cos60° = 0,

HA = -5 кН,

∑Fку = 0; VА – F × cos30° + q × 4 = 0,

VА - 10 × 0,9 + 0,5 × 4 = 0,

VА = 7 кН.

6. Для проверки решения задачи необходимо вычислить алгебраическую сумму моментов относительно произвольной точки плоскости действия сил, например точки В:

∑mВ = mА + VА × 2 - q × 4 × 2 + m = -14 +7 × 2 - 0,5 × 4 × 2 + 4 = 0.

Действительные направления – mA и НА противоположны указанным на чертеже, т. к. их значения получены со знаком «-».

Ответ: mA = -14 кН×м; VА = 7 кН; НА = -5 кН.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема: Определение положения центра тяжести плоских сечений сложной формы.

Цель: Освоить определение координат центра тяжести плоского сечения сложной формы относительно заданных осей.

Время проведения: 2 часа

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

На любую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила, называемая силой тяжести.

Центром тяжести твердого тела называется точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести тела можно найти по формулам:

где хк, ук, zк – координаты точек приложения сил тяжести, частиц тела;

G = ∑Gк – сила тяжести тела;

Gк – сила тяжести частицы тела.

Координаты центра тяжести однородного тела определяются по формулам:

где V = ∑Vк – объем тела;

Vк – объем частицы тела.

Машиностроителю в практической деятельности приходится определять центр тяжести, главным образом, плоских сечений. Большей частью эти сечения являются сложными, состоящими из простых сечений, положение центра тяжести которых заранее известно.

Если плоское сечение состоит из нескольких простых, то положение центра тяжести определяют, разбивая данное сечение на простые. Координаты центра тяжести всего сечения находят по формулам:

где Ак – площадь простых сечений;

А = ∑ Ак – площадь всего плоского сечения;

хс, ус – координаты центра тяжести плоского сечения;

хК, уК – координаты центра тяжести отдельных частей сечения.

При этом число слагаемых в каждом из числителей будет равно числу простых сечений, на которые разбито данное сложное сечение.

Если в сечении имеются отверстия (вырезы), то для определения центра тяжести пользуются теми же формулами, что и для сплошных сечений, но только площади вырезанных частей считают отрицательными.

Если сечение имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести сечения находится соответственно в плоскости на оси или в центре симметрии.

Для упрощения расчетов по определению центра тяжести сложных сечений используют понятие статического момента.

Статический момент сечения простой формы относительно оси

определяется по формуле:

Sx = yc × A,

где ус – координата у центра тяжести сечения (кратчайшее расстояние от центра тяжести сечения до оси х, рис. 16);

А – площадь сечения.

Рис. 16.

Аналогично относительно оси у:

Sу = хc × A.

Единицы измерения статического момента [м3, см3, мм3].

Статический момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю (рис. 17 ).

Рис. 17.

Статический момент сечения сложной формы равен алгебраической сумме статических моментов его простых частей (рис 18, а, б):

.

а)	б)
Sx = S1x + S2x	Sx = S1x - S2x

Рис. 18.

Статический момент сечения, имеющего ось симметрии, равен нулю относительно оси симметрии Sy = 0 (см. рис. 18, б)

При решении задач на определение центра тяжести сечения сложной формы рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1.  Разбить сложное сечение на простые сечения, положение центров тяжести которых известно.

2.  Определить величины, входящие в формулы координат центра тяжести сечения. Рекомендуется составить таблицу, внося в нее номера простых частей, размеры площадей, координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных координатных осей.

3.  Определить координаты центра тяжести сечения сложной формы и показать их на рисунке.

Таблица 3

Простые сечения

	Центр тяжести площади прямоугольника находится на пересечении его диагоналей.
	Центр тяжести площади треугольника находится в точке пересечения медиан на расстоянии 1/3 медианы, считая от стороны треугольника.
	Центр тяжести прямоугольного треугольника лежит на пересечении прямых, параллельных катетам треугольника и отстающих от них на расстоянии 1/3 длины катета, считая от прямого угла.
	Центр тяжести площади полукруга с радиусом R находится на оси симметрии x на расстоянии: .
	Центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии и отстоит от центра круга 0 на расстоянии, равном: , где a – половина центрального угла в радианах.

Решение задачи на определение координат центра тяжести сечения сложной формы, с применением статических моментов, можно осуществить в следующем порядке:

1.  Разбить сечение на простые части.

2.  Вычислить площади простых частей сечения по соответствующим формулам.

3.  Вычислить площадь всего сечения.

4.  Обозначить центры тяжести простых частей: С1, С2, С3,….

5.  Определить координаты центров тяжести простых частей относительно заданных осей.

6.  Вычислить статические моменты простых сечений относительно оси Х.

7.  Вычислить статический момент всего сечения относительно оси Х.

8.  Вычислить статические моменты простых сечений относительно оси У.

9.  Вычислить статический момент всего сечения относительно оси У.

10.  Определить координаты центра тяжести (точки С), всего сечения.

11.  Показать на сечении центр тяжести сечения.

В приведенной табл. 3 даны сведения о положении центров тяжести некоторых простых сечений.

Задание 4. Определить координаты центра тяжести заданного сечения. Необходимые размеры взять в табл. 4.

Варианты к заданию 4
Варианты к заданию 4
Варианты к заданию 4

Таблица 4

№ варианта	№ схемы	а (см)	b (см)	с (см)	R (см)
1	2	3	4	5	6
1	1	2	8	6	14
2	4	12	15	20
3	2	9	5	14	2
4	6	4	10	1,5
5	3	4	7	14	3
6	6	12	21	4
7	4	6	14	15	4
8	10	20	24	8
9	5	12	5	6	20
10	9	4	5	15
11	6	8	15	25	6
12	6	10	18	5
13	7	34	24	8	4
14	46	36	10	6
15	8	8	4	5	10
16	14	6	9	18
17	9	15	9	6	4
18	29	17	8	6
19	10	4	5	8	10

Продолжение табл. 4.