Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление (стр. 2 )

Производной функции по направлению вектора l в точке называется .

Производная по направлению обозначается .

Градиентом функции f в точке называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f = (, ) =i +j.

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l:

=+=,

где g - угол между векторами grad f и l.

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции в точке М (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3).

Вектор MN имеет координаты (4, 3), . Значит, единичный вектор l имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М: , . Тогда (1,0)=6 ×4/5 + 0 ×3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

, .

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f. Следовательно,

.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке функции верно следующее соотношение:

,

где , (это следует из определения дифференциала первого порядка). Коэффициенты А и В однозначно определяются: =А, =В.

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку . Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции в точке .

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции в этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с r при r ® 0.

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид

.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

,

а уравнение нормали в этой точке:

.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (-2, 1, 4).

, . Уравнение касательной плоскости имеет вид: или .

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , , если существует окрестность точки , для всех точек которой выполнено неравенство

().

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции .

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке локальный экстремум и в этой точке существуют частные производные f, то

=0 и =0.

Точка называется стационарной точкой функции f, если =0 и =0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки .

Обозначим Q=- ()2. Тогда

1) если Q>0, то в точке функция f имеет локальный экстремум: максимум при > 0 и минимум при < 0;

2) если Q<0, то в точке функция f не имеет экстремума;

3) если Q=0, то в точке функция f может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

.

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости. , . Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

Q==.

Q(2, 1) = 36∙(= -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

Q(1, 2) = 36∙(= 108 > 0, , следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u(1,2) = -25.

Q(-2, -1) = 36∙(1 – 4 ) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

Q(-1, -2) = 36∙(= 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u(-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве D.

Напомним, что множество называется ограниченным, если существует такая окрестность U (0,0), что U (0,0); множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки и , что является наибольшим значением функции на множестве D , а - наименьшим ее значением на множестве D.

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D.

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множестве D, ограниченном прямыми , , .

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D.

1) , . На этом участке границы

Рис. 5 . Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке , а наибольшее значение в точке : u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2) , . На этом отрезке . Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка: ; , но , поэтому вычисляем u (0,0) = 3, u (0,)= = , u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0, );

3), . Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ; ; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, ,	, ,
Вариант 3	Вариант 4
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, , ,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, , образует угол с осью	, , - внешняя нормаль к окружности в точке М
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, ,	, ,

Вариант 5	Вариант 6
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите градиент функции в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	, , ,

Вариант 7	Вариант 8
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, , ,	, , ,

Вариант 9	Вариант 10
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
	,
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению функции в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, , ,	,

Вариант 11	Вариант 12
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,
7. Найдите единичный вектор , по направлению которого производная в точке М наибольшая
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	,

Вариант 13	Вариант 14
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	,

Вариант 15	Вариант 16
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, , образует угол с осью O	, , - внешняя нормаль к окружности в точке М
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	,

Вариант 17	Вариант 18
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите градиент функции в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении связи
,	,

Вариант 19	Вариант 20
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении связи
,	,

Вариант 21	Вариант 22
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении связи
,	,

Вариант 23	Вариант 24
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите единичный вектор , по направлению которого производная в точке М наибольшая
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении связи
,	,

Вариант 25	Вариант 26
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, ,	, ,

Вариант 27	Вариант 28
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, ,	, ,

ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.