Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление (стр. 3 )

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть на квадрируемом множестве определена функция .

Под квадрируемым множеством подразумевается такое точечное множество D, которому можно по определенным правилам сопоставить некоторое неотрицательное число, являющееся его площадью.

Разобьем D произвольными кривыми на n частей . Пусть - площади этих частей, а - их диаметры.

Напомним, что диаметром множества называется супремум расстояний между любыми двумя точками, принадлежащими данному множеству.

В каждой из () выберем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции на множестве D.

Число называется рангом разбиения D.

Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения D на части, ни от выбора точек , то J называется двойным интегралом функции по множеству D и обозначается ; функция в этом случае называется интегрируемой на множестве D.

Заметим, что функция , непрерывная на замкнутом квадрируемом множестве D, интегрируема на D.

Свойства двойных интегралов

Пусть функции и интегрируемы на множестве D.

1.  Линейность интеграла. Для любых постоянных чисел и функция

+ интегрируема на D и верно равенство

=+.

2. Аддитивность по множеству. Если D некоторой непрерывной кривой L разбита на два множества D1 и D2 (, ), то функция интегрируема на D1 и D2 и

=+.

3. Монотонность. Если £ для всех , то

£.

4. Теорема о среднем значении. Пусть определена и непрерывна на связном, замкнутом и ограниченном множестве D.

Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Тогда существует такая точка , что

,

где P - площадь множества D.

Вычисление двойных интегралов

Множество вида , где - функции, непрерывные на [a,b] , на [a,b], называется элементарным относительно оси y.

Аналогично, множество , где - функции, непрерывные на [c,d], на [c,d], называется элементарным относительно оси x.

Теорема (о вычислении двойного интеграла повторным интегрированием).

1). Пусть функция интегрируема на множестве D, элементарном относительно оси y, и при каждом постоянном значении x из [a,b] существует интеграл , тогда существует также интеграл , который называется повторным

интегралом, и выполняется равенство .

2). Аналогично, если функция интегрируема на множестве D, элементарном относительно оси x, и при каждом постоянном значении y из [c,d] существует интеграл , то существует интеграл , и выполняется равенство .

Пример 16. Вычислим , где D - область, ограниченная кривыми и (рис. 6).

Решая систему ,

найдем абсциссы точек пересечения

полуокружности и параболы:

. Заметим, что множество D

элементарно относительно оси y:

оно задается с помощью неравенств Рис. 6.

, .

Поэтому двойной интеграл может быть вычислен повторным интегрированием:

==

= .

Пример 17. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле .

Эта задача несколько сложнее предыдущей. Здесь не дана непосредственно область интегрирования, мы должны выяснить ее вид по пределам данного повторного интеграла.

Неравенства ,

задают множество D, которое изображено

на рис. 7. Проекцией D на ось y является

отрезок . Каждая прямая y=c

(c = const Î ) пересекает D по отрезку

, где и являются

решениями уравнения .

Решая последнее уравнение, находим

, . Рис. 7

Таким образом, множество D является элементарным относительно оси x и задается неравенствами , . Поэтому

=.

Пример 18. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле

. y

Пределы интегрирования в

исходном интеграле показывают,

что область интегрирования D

задается неравенствами ,

. Область D

изображена на рис. 8 (кривая

является верхней x

полуокружностью окружности

). Легко увидеть, Рис. 8

что множество D не является

элементарным относительно оси x, но его можно разбить на три множества и , каждое из которых элементарно относительно оси x (см. рис.8). Разрешая уравнения и относительно x, получим соответственно и . Таким образом, множество может быть задано неравенствами , ; множество может быть задано неравенствами , ; а множество - неравенствами , . Следовательно,

++=

.

Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть функция непрерывна на замкнутом квадрируемом множестве D, функции , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутом квадрируемом множестве Q и задают взаимно однозначное отображение множества Q на множество D. Тогда имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле

,

где . Этот определитель называется якобианом отображения , .

В частности, при переходе к полярной системе координат на плоскости , якобиан вычисляется следующим образом: , поэтому .

Пример 19. Вычислим интеграл W =, где D - круг .

Поскольку границей области интегрирования является окружность

, то при вычислении данного интеграла удобно перейти к полярным координатам , . При этом отображении прообразом круга является прямоугольник (уравнение окружности в полярной системе координат имеет вид , ). Используя формулу замены переменных, получим: W =

= =

==.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть непрерывная и неотрицательная функция, определенная на замкнутом квадрируемом множестве D.

Объем цилиндрического тела

(криволинейного цилиндра), ограни -

ченного поверхностью ,

плоскостью и прямой цилиндри-

ческой поверхностью, вырезающей на

плоскости множество D (рис.9),

вычисляется по формуле:

V =.

Площадь S квадрируемой области Рис.9.

D на плоскости xOy выражается формулой

S =.

Площадь F гладкой поверхности

, , вычисляется

по формуле

F =

В последней формуле D - проекция данной

Поверхности на плоскость xOy (рис.10). Рис. 10.

Аналогичные формулы имеют место,

если гладкая поверхность задана уравнением , , (или уравнением , ):

F1 = (или F2 = ).

Пример 20. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью и плоскостями , , и .

Заметим, что уравнение задает цилиндрическую

z поверхность с образующими,

параллельными оси x, а плоскость

параллельна оси z

(рис. 11).

Область D ограничена прямыми

, и , она может

y быть задана неравенствами ,

.

x Рис. 11 Объем тела V ==

=

=20/3 (куб. ед.).

Пример 21. Найдем объем тела, ограниченного плоскостями , и цилиндром .

Тело, объем которого требуется z

вычислить, изображено на рис. 12.

Объем тела вычисляется по формуле

V =. Этот интеграл

вычислен в примере 19, он равен 3p,

поэтому искомый объем равен

3p (куб. ед.). y

Пример 22. Найдем площадь x

фигуры D, ограниченной кривой Рис. 12

().

Заметим, что кривая симметрична относительно оси x (уравнение кривой не меняется при замене y на -y), расположена в правой полуплоскости (левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной). Кривая пересекает ось x в точках и .

Кроме того, она ограничена: из очевидного неравенства следует, что , а поскольку , то . Эскиз кривой дан на рис. 13.

Для вычисления площади фигуры D, ограниченной данной кривой,

воспользуемся формулой S =.

Наличие в формуле кривой двучлена

подсказывает, что целесообразно

перейти к полярным координатам

, .

Полярное уравнение кривой: .

Из условия следует, что q меняется

от - p/2 до p/2, при каждом фиксированном Рис. 13

q переменная r изменяется от 0 до . Используя симметричность D, мы можем вычислить площадь фигуры, расположенной в первой четверти и удвоить ее. Таким образом,

S== =

= (кв. ед.).

Пример 23. Вычислим площадь части параболоида , вырезанной цилиндром .

Очевидно, что указанная часть поверхности состоит из четырех равных между собой частей (в силу симметрии параболоида и цилиндра). Поэтому мы можем вычислять площадь одной четвертой части указанной поверхности (например, той, которая находится в первом октанте) и результат умножить на четыре. Таким образом, F= , где D - четверть круга , располо-женная в первой четверти. , следовательно, , , и F = .

Областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция содержит в себе выражение , поэтому при вычислении интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область D в полярных координатах задается неравенствами , , следовательно,

F ==

= = (кв. ед.).

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть L - простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрически: , , .

Напомним, что L называется простой незамкнутой кривой, если функции , непрерывны на и различным значениям параметра t из отрезка соответствуют различные точки на кривой L. Простая кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину.

Пусть на кривой L заданы две функции и . Разобьем отрезок на n частей точками . При этом кривая L разбивается на n частей точками ; - координаты точки .

Введем обозначения: , , - длина дуги , . На каждой дуге выберем некоторую точку с координатами и составим интегральную сумму

.

Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то J называется криволинейным интегралом по координатам (криволинейным интегралом второго рода) и обозначается

.

Замечания. 1. Из определения криволинейного интеграла следует, что при изменении направления обхода кривой L изменяется и знак интеграла, т. е. .

2. Если кривая L замкнутая (т. е. точка A совпадает с точкой B), то для L можно указать два направления обхода от A к B. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L называется положительным, а противоположное ему - отрицательным.

Интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении обозначают так: . Заметим, что в случае вычисления интеграла по замкнутому контуру в качестве начальной (и конечной) точки можно взять любую точку контура.

3. Криволинейные интегралы обладают свойствами линейности и аддитивности.

Вычисление криволинейного интеграла

Теорема. Пусть L - кривая, заданная уравнениями , , , где и непрерывны на вместе со своими производными, а функции и непрерывны вдоль кривой L. Тогда существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство